Kuamua umbali kati ya pointi. Umbali kati ya pointi mbili kwenye ndege

Umbali kati ya pointi mbili kwenye ndege.
Mifumo ya kuratibu

Kila hatua A ya ndege ina sifa ya kuratibu zake (x, y). Zinaendana na kuratibu za vekta 0A inayotoka kwa uhakika 0 - asili ya kuratibu.

Acha A na B ziwe pointi za kiholela za ndege yenye viwianishi (x 1 y 1) na (x 2, y 2), mtawalia.

Kisha vekta AB ni wazi ina kuratibu (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Inajulikana kuwa mraba wa urefu wa vekta ni sawa na jumla ya mraba wa kuratibu zake. Kwa hiyo, umbali d kati ya pointi A na B, au, ni nini sawa, urefu wa vector AB, imedhamiriwa kutoka kwa hali hiyo.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Njia inayosababishwa hukuruhusu kupata umbali kati ya alama mbili kwenye ndege, ikiwa tu kuratibu za vidokezo hivi zinajulikana.

Kila wakati tunapozungumza juu ya kuratibu za sehemu fulani kwenye ndege, tunamaanisha mfumo uliofafanuliwa vizuri wa kuratibu x0y. Kwa ujumla, mfumo wa kuratibu kwenye ndege unaweza kuchaguliwa kwa njia tofauti. Kwa hivyo, badala ya mfumo wa kuratibu wa x0y, unaweza kuzingatia mfumo wa kuratibu wa x"0y", ambao hupatikana kwa kuzungusha shoka za zamani za kuratibu karibu na mahali pa kuanzia 0. kinyume na saa mishale kwenye kona α .

Ikiwa hatua fulani ya ndege katika mfumo wa kuratibu x0y ilikuwa na kuratibu (x, y), basi katika mfumo mpya wa kuratibu x "0y" itakuwa na kuratibu tofauti (x, y").

Kama mfano, fikiria nukta M, iliyoko kwenye mhimili wa 0x na kutengwa na nukta 0 kwa umbali wa 1.

Ni wazi, katika mfumo wa kuratibu wa x0y hatua hii ina kuratibu (cos α ,dhambi α ), na katika mfumo wa kuratibu wa x"0y" kuratibu ni (1,0).

Kuratibu za pointi zozote mbili kwenye ndege A na B hutegemea jinsi mfumo wa kuratibu umebainishwa katika ndege hii. Lakini umbali kati ya pointi hizi hautegemei njia ya kutaja mfumo wa kuratibu. Tutatumia kwa kiasi kikubwa hali hii muhimu katika aya inayofuata.

Mazoezi

I. Tafuta umbali kati ya pointi za ndege na viwianishi:

1) (3.5) na (3.4); 3) (0.5) na (5, 0); 5) (-3,4) na (9, -17);

2) (2, 1) na (- 5, 1); 4) (0, 7) na (3,3); 6) (8, 21) na (1, -3).

II. Tafuta eneo la pembetatu ambalo pande zake zimepewa equations:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 na y = 1.

III. Katika mfumo wa kuratibu wa x0y, pointi M na N zina kuratibu (1, 0) na (0,1), kwa mtiririko huo. Pata kuratibu za pointi hizi katika mfumo mpya wa kuratibu, unaopatikana kwa kuzungusha axes za zamani karibu na hatua ya kuanzia kwa pembe ya 30 ° kinyume cha saa.

IV. Katika mfumo wa kuratibu wa x0y, alama M na N zina kuratibu (2, 0) na (\ / 3/2, - 1/2) kwa mtiririko huo. Pata kuratibu za pointi hizi katika mfumo mpya wa kuratibu, unaopatikana kwa kuzunguka axes za zamani karibu na hatua ya kuanzia kwa angle ya 30 ° saa.

Kutakuwa na calculator hapa

Umbali kati ya pointi mbili kwenye mstari

Fikiria mstari wa kuratibu ambao alama 2 zimewekwa alama: A A Na B B B. Ili kupata umbali kati ya pointi hizi, unahitaji kupata urefu wa sehemu A B AB A B. Hii inafanywa kwa kutumia formula ifuatayo:

Umbali kati ya pointi mbili kwenye mstari

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

Wapi a, b a, b a, b- kuratibu za pointi hizi kwenye mstari wa moja kwa moja (mstari wa kuratibu).

Kwa sababu ya ukweli kwamba formula ina moduli, wakati wa kuisuluhisha, sio muhimu kuratibu kutoa ambayo (kwa kuwa thamani kamili ya tofauti hii inachukuliwa).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b -a∣

Wacha tuangalie mfano ili kuelewa vizuri suluhisho la shida kama hizo.

Mfano 1

Pointi zimewekwa alama kwenye mstari wa kuratibu A A, ambayo uratibu wake ni sawa na 9 9 9 na kipindi B B B na kuratibu − 1 -1 − 1 . Tunahitaji kupata umbali kati ya pointi hizi mbili.

Suluhisho

Hapa a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9 , b =− 1

Tunatumia fomula na kubadilisha maadili:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Jibu

Umbali kati ya pointi mbili kwenye ndege

Fikiria mambo mawili yaliyotolewa kwenye ndege. Kutoka kwa kila hatua iliyowekwa kwenye ndege, unahitaji kupunguza perpendiculars mbili: Kwa mhimili O X OX O X na kwenye ekseli O Y OY OY. Kisha pembetatu inazingatiwa A B C ABC A B C. Kwa kuwa ni mstatili ( B C BC B C perpendicular A C AC A C), kisha pata sehemu A B AB A B, ambayo pia ni umbali kati ya pointi, inaweza kufanyika kwa kutumia theorem ya Pythagorean. Tuna:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Lakini, kwa kuzingatia ukweli kwamba urefu A C AC A C sawa na x B − x A x_B-x_A x B​ − x A​ , na urefu B C BC B C sawa na y B − y A y_B-y_A y B​ − y A​ , fomula hii inaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:

Umbali kati ya pointi mbili kwenye ndege

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Wapi x A , y A x_A, y_A x A​ , y A​ Na x B , y B x_B, y_B x B​ , y B​ - kuratibu za pointi A A Na B B B kwa mtiririko huo.

Mfano 2

Ni muhimu kupata umbali kati ya pointi C C C Na F F F, ikiwa kuratibu za kwanza (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , na pili - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Suluhisho

X C = 8 x_C=8 x C​ = 8
y C = - 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 - (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Jibu

Umbali kati ya pointi mbili katika nafasi

Kupata umbali kati ya alama mbili katika kesi hii ni sawa na ile ya awali, isipokuwa kwamba kuratibu za hatua katika nafasi zimeainishwa na nambari tatu; ipasavyo, uratibu wa mhimili unaotumika lazima pia uongezwe kwenye fomula. Formula itaonekana kama hii:

Umbali kati ya pointi mbili katika nafasi

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Mfano 3

Tafuta urefu wa sehemu FK FKFK katika nafasi ikiwa kuratibu za alama kwenye miisho yake ni kama ifuatavyo: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Na (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Zungusha jibu kwa nambari nzima iliyo karibu.

Suluhisho

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Kulingana na hali ya shida, tunahitaji kuzungusha jibu kwa nambari nzima.

Mhadhara: Mfumo wa umbali kati ya pointi mbili; equation ya nyanja

Umbali kati ya pointi mbili

Ili kupata umbali kati ya pointi mbili kwenye mstari katika swali la awali, tulitumia fomula d = x 2 - x 1.

Lakini kwa upande wa ndege, mambo ni tofauti. Haitoshi kupata tu tofauti katika kuratibu. Ili kupata umbali kati ya vidokezo kwa kutumia kuratibu zao, tumia fomula ifuatayo:

Kwa mfano, ikiwa una pointi mbili na kuratibu fulani, basi unaweza kupata umbali kati yao kama ifuatavyo:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 - 6) 2) 1/2 ≈ 10.6.

Hiyo ni, kuhesabu umbali kati ya pointi mbili kwenye ndege, ni muhimu kupata mzizi wa jumla ya mraba wa tofauti za kuratibu.

Ikiwa unahitaji kupata umbali kati ya alama mbili kwenye ndege, unapaswa kutumia fomula sawa na uratibu wa ziada:

Mlinganyo wa tufe

Ili kufafanua nyanja katika nafasi, unahitaji kujua kuratibu za kituo chake, pamoja na radius yake, ili kutumia formula ifuatayo:

Mlinganyo huu unalingana na nyanja ambayo kitovu chake ni asili.

Ikiwa katikati ya nyanja inabadilishwa na idadi fulani ya vitengo pamoja na axes, basi formula ifuatayo inapaswa kutumika.

Hebu , (Mchoro 2.3). Inahitajika ili kupata.

Kielelezo 2.3. Umbali kati ya pointi mbili.

Kutoka kwa mstatili kulingana na theorem ya Pythagorean tunayo

Hiyo ni ,

Fomula hii ni halali kwa eneo lolote la pointi na.

II. Mgawanyiko wa sehemu katika suala hili:

Hebu,. Inahitajika kupata , amelala kwenye sehemu na kuigawanya kwa uwiano uliopewa (Mchoro 2.4.).

Kielelezo 2.4. Mgawanyiko wa sehemu katika suala hili.

From the similarity ~, yaani, kutoka wapi. Vivyo hivyo.

Hivyo,

- fomula ya kugawanya sehemu kuhusiana na .

Ikiwa, basi

- kuratibu za katikati ya sehemu.

Maoni. Fomula zinazotolewa zinaweza kujumuishwa kwa jumla kwa kesi ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa anga. Wacha pointi,. Kisha

- formula ya kutafuta umbali kati ya pointi na .

Mfumo wa kugawanya sehemu kuhusiana.

Mbali na zile za Cartesian, idadi kubwa ya mifumo mingine ya kuratibu inaweza kujengwa kwenye ndege na katika nafasi, ambayo ni, njia za kuashiria msimamo wa hatua kwenye ndege au katika nafasi kwa kutumia vigezo viwili au vitatu vya nambari (kuratibu). Hebu tuchunguze baadhi ya mifumo iliyopo ya kuratibu.

Kwenye ndege inawezekana kuamua mfumo wa kuratibu polar , ambayo hutumiwa, hasa, katika utafiti wa harakati za mzunguko.

Kielelezo 2.5. Mfumo wa kuratibu wa polar.

Hebu turekebishe hatua kwenye ndege na mstari wa nusu unaojitokeza kutoka kwake, na pia uchague kitengo cha kiwango (Mchoro 2.5). Hatua inaitwa nguzo , mstari wa nusu - mhimili wa polar . Wacha tupe nambari mbili kwa sehemu ya kiholela:

– radius ya polar , sawa na umbali kutoka kwa uhakika M hadi pole O;

– pembe ya polar , sawa na pembe kati ya mhimili wa polar na mstari wa nusu.

Ikipimwa katika radiani, mwelekeo chanya wa maadili huhesabiwa kutoka kinyume cha saa, kawaida huchukuliwa.

Radi ya polar inalingana na pole; pembe ya polar haijafafanuliwa kwa ajili yake.

Hebu tupate uhusiano kati ya kuratibu za mstatili na polar (Mchoro 2.6).

Kielelezo 2.6. Uhusiano kati ya mifumo ya kuratibu ya mstatili na polar.

Tutazingatia asili ya mfumo wa kuratibu wa mstatili kuwa nguzo, na kuchukua ray kuwa mhimili wa polar. Hebu - katika mfumo wa kuratibu Cartesian mstatili na - katika mfumo wa kuratibu polar. Wacha tupate uhusiano kati ya kuratibu za mstatili na polar.

Kutoka kwa mstatili, na kutoka kwa mstatili. Kwa hivyo, fomula

eleza viwianishi vya mstatili wa nukta kulingana na viwianishi vyake vya polar.

Uhusiano wa kinyume unaonyeshwa na fomula

Maoni. Pembe ya polar pia inaweza kuamuliwa kutoka kwa fomula, ikiwa imedhamiriwa hapo awali kutoka kwa viwianishi vya mstatili ambamo nukta hiyo iko.

Mfano 1. Pata kuratibu za polar za uhakika.

Suluhisho. Tunahesabu; Pembe ya polar hupatikana kutoka kwa masharti:

Kwa hivyo, kwa hivyo.

Mfano 2. Pata kuratibu za mstatili za uhakika.

Suluhisho. Tunahesabu

Tunapata.

Katika nafasi ya tatu-dimensional, pamoja na mfumo wa kuratibu wa Cartesian mstatili, mifumo ya kuratibu ya cylindrical na spherical hutumiwa mara nyingi.

Mfumo wa kuratibu wa cylindrical ni mfumo wa kuratibu wa polar katika ndege, ambayo ni aliongeza mhimili wa anga perpendicular kwa ndege hii (Mchoro 2.7). Msimamo wa hatua yoyote ina sifa ya nambari tatu - kuratibu zake za silinda: wapi na ni kuratibu za polar (radius ya polar na pembe ya polar) ya makadirio ya uhakika kwenye ndege ambayo mfumo wa kuratibu wa polar huchaguliwa - maombi, ambayo ni sawa na umbali kutoka kwa uhakika hadi kwenye ndege maalum.

Kielelezo 2.7. Mfumo wa kuratibu wa cylindrical

Ili kuanzisha uhusiano kati ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili na ule wa silinda, tunawaweka sawa kwa kila mmoja kama kwenye Mchoro 2.8 (tunaweka ndege kwenye ndege, na mhimili wa polar unaambatana na mwelekeo mzuri wa mhimili, mhimili. ni ya kawaida katika mifumo yote miwili ya kuratibu).

Hebu ziwe viwianishi vya mstatili wa uhakika, viwe viwianishi vya silinda vya hatua hii, na uwe makadirio ya uhakika kwenye ndege. Kisha

fomula zinazounganisha viwianishi vya mstatili na silinda vya uhakika.

Kielelezo 2.8. Uhusiano kati ya Cartesian ya mstatili

na mifumo ya kuratibu silinda

Maoni. Kuratibu za cylindrical hutumiwa mara nyingi wakati wa kuzingatia miili ya mzunguko, na mhimili iko kando ya mhimili wa mzunguko.

Mfumo wa kuratibu wa spherical inaweza kujengwa kama ifuatavyo. Wacha tuchague mhimili wa polar kwenye ndege. Kupitia hatua tunachora mstari wa moja kwa moja wa perpendicular kwa ndege (ya kawaida). Kisha hatua yoyote katika nafasi inaweza kuhusishwa na namba tatu halisi, ambapo ni umbali kutoka kwa uhakika hadi, ni angle kati ya mhimili na makadirio ya sehemu kwenye ndege, na ni pembe kati ya kawaida na sehemu. Angalia, kwamba,,.

Ikiwa tutaweka ndege kwenye ndege, na kuchagua mhimili wa polar ili sanjari na mwelekeo mzuri wa mhimili, na kuchagua mhimili kama kawaida (Mchoro 2.9), tunapata fomula zinazounganisha mifumo hii miwili ya kuratibu.

Kielelezo 2.9. Uhusiano kati ya Cartesian ya duara na mstatili

kuratibu mifumo

Idadi ya scalar, au scalars ni sifa kabisa na thamani yao ya nambari katika mfumo uliochaguliwa wa vitengo. Kiasi cha Vector au vectors, pamoja na thamani yao ya nambari, pia wana mwelekeo. Kwa mfano, ikiwa tunasema kwamba upepo unavuma kwa kasi ya 10 m / sec, basi tutaanzisha thamani ya scalar ya kasi ya upepo, lakini ikiwa tunasema kuwa upepo wa kusini-magharibi unavuma kwa kasi ya 10 m / sec. basi katika kesi hii kasi ya upepo itakuwa tayari vector.

Vekta inayoitwa sehemu iliyoelekezwa yenye urefu fulani, i.e. sehemu ya urefu fulani, ambayo moja ya vizuizi huchukuliwa kama mwanzo, na ya pili - kama mwisho. Tutaashiria vector ama au (Mchoro 2.10).

Urefu wa vekta unaonyeshwa na ishara au na inaitwa moduli ya vekta. Vekta ambayo urefu wake ni 1 inaitwa single . Vector inaitwa sufuri , ikiwa mwanzo na mwisho wake zinapatana, na inaonyeshwa na θ au . Vekta null haina mwelekeo maalum na ina urefu sawa na sifuri. Vectors na ziko kwenye mstari huo au kwenye mistari inayofanana huitwa colinear . Vectors mbili zinaitwa sawa , ikiwa ni collinear, zina urefu sawa na mwelekeo sawa. Vectors zote za sifuri zinachukuliwa kuwa sawa.

Vekta mbili za collinear, tofauti na sifuri, zenye ukubwa sawa, lakini mwelekeo tofauti, huitwa. kinyume . Kinyume cha vekta kinaonyeshwa na , kwa vector kinyume.

Kwa nambari shughuli za mstari juu ya vectors ni pamoja na shughuli za kuongeza, kutoa vectors na kuzidisha vector kwa idadi, i.e. shughuli ambazo matokeo yake ni vekta.

Wacha tufafanue shughuli zilizoonyeshwa kwenye vekta. Acha vekta mbili na upewe. Wacha tuchukue hatua ya kiholela O na tujenge vekta, na tupange vekta kutoka kwa uhakika A. Kisha vector inayounganisha mwanzo wa muda wa kwanza wa vector na mwisho wa pili inaitwa kiasi vekta hizi zinaonyeshwa na . Sheria inayozingatiwa ya kupata jumla ya veta inaitwa sheria za pembetatu (Mchoro 2.11).

Jumla sawa ya vectors inaweza kupatikana kwa njia nyingine (Mchoro 2.12). Hebu tupange vector na vector kutoka kwa uhakika. Wacha tutengeneze sambamba kwenye veta hizi kama kwenye kando. Vekta, ambayo ni diagonal ya parallelogram inayotolewa kutoka kwenye vertex, itakuwa jumla. Sheria hii ya kupata jumla inaitwa sheria za parallelogram .

Jumla ya idadi yoyote ya mwisho ya vekta inaweza kupatikana kwa kutumia kanuni ya mstari iliyovunjika (Mchoro 2.13). Kutoka kwa hatua ya kiholela tunapanga vector, kisha tunapanga vector, nk. Vekta inayounganisha mwanzo wa kwanza hadi mwisho wa mwisho ni jumla

vekta za data, i.e. . Kwa wazi, ikiwa mwisho wa muda wa mwisho wa vector unafanana na mwanzo wa kwanza, basi jumla ya vectors ni sawa na vector null.

Kwa tofauti vekta mbili na inaitwa vector vile, jumla ambayo kwa vector subtracted inatoa vector. Kutoka hapa sheria ya kuunda vekta tofauti(Mchoro 2.14). Kutoka kwa hatua tunapanga vector na vector . Vekta inayounganisha ncha za vekta ya minuend na vekta ya subtrahend na kuelekezwa kutoka kwa subtrahend hadi vekta ya minuend ni tofauti.

Bidhaa ya vector kwa nambari halisi λ ni vekta ambayo ni collinear kwa vekta na ina urefu na mwelekeo sawa na vekta if , na mwelekeo kinyume na vekta if .

Imeingia shughuli za mstari juu ya vekta kuwa mali :

10 . Commutativity ya kuongeza:.

20 . Ushirikiano wa nyongeza:.

thelathini . Kuwepo kwa kipengele cha upande wowote kwa kuongeza:.

4 0 . Kuwepo kwa kipengele kinyume kwa kuongeza:

50 . Usambazaji wa kuzidisha kwa nambari inayohusiana na nyongeza ya vekta: .

6 0 . Usambazaji wa kuzidisha vekta kwa jumla ya nambari mbili:

7 0 . Sifa ya ushirika kuhusu kuzidisha vekta kwa bidhaa ya nambari: .

Wacha mfumo wa vekta upewe:

Usemi ambapo λ i (i = 1,2,…, n) ni nambari fulani huitwa mchanganyiko wa mstari mifumo ya vekta (2.1). Mfumo wa vectors (2.1) unaitwa tegemezi kwa mstari , ikiwa mchanganyiko wao wa mstari ni sawa na sifuri, mradi sio nambari zote λ 1, λ 2, ..., λ n ni sawa na sifuri. Mfumo wa vectors (2.1) unaitwa kujitegemea linearly , ikiwa mchanganyiko wao wa mstari ni sawa na sifuri ikiwa tu nambari zote λ i = 0 (). Tunaweza kutoa ufafanuzi mwingine wa utegemezi wa mstari wa vekta. Mfumo wa vectors (2.1) unaitwa tegemezi kwa mstari , ikiwa vekta yoyote ya mfumo huu imeonyeshwa kwa mstari kulingana na zingine, vinginevyo mfumo wa vekta (2.1) kujitegemea linearly .

Kwa vekta zilizolala kwenye ndege, taarifa zifuatazo ni za kweli.

10 . Vekta zozote tatu kwenye ndege zinategemeana.

20 . Ikiwa idadi ya vekta hizi kwenye ndege ni zaidi ya tatu, basi pia hutegemea mstari.

thelathini . Ili vectors mbili kwenye ndege kuwa huru linearly, ni muhimu na kutosha kwamba wao ni non-collinear.

Kwa hivyo, idadi ya juu ya vekta za kujitegemea kwenye ndege ni mbili.

Vectors huitwa coplanar , ikiwa wanalala katika ndege moja au ni sambamba na ndege moja. Taarifa zifuatazo ni kweli kwa vekta za nafasi.

10 . Kila vekta nne za nafasi zinategemea mstari.

20 . Ikiwa idadi ya vekta hizi kwenye nafasi ni zaidi ya nne, basi pia zinategemea mstari.

thelathini . Ili vectors tatu kujitegemea linearly, ni muhimu na kutosha kwamba wao si coplanar.

Kwa hivyo, idadi ya juu ya vekta za kujitegemea katika nafasi ni tatu.

Mfumo wowote wa kiwango cha juu zaidi wa vekta zinazojitegemea kwa njia ambayo vekta yoyote ya mfumo huu inaonyeshwa inaitwa msingi ile inayozingatiwa mifumo ya vector . Ni rahisi kuhitimisha kuwa msingi kwenye ndege una vectors mbili zisizo za collinear, na msingi katika nafasi unajumuisha vectors tatu zisizo za coplanar. Idadi ya veta za msingi inaitwa cheo mifumo ya vector. Coefficients ya upanuzi wa vector katika vectors msingi inaitwa kuratibu za vector katika msingi huu.

Hebu vectors kuunda msingi na basi , basi namba λ 1, λ 2, λ 3 ni kuratibu za vector katika msingi Katika kesi hii, kuandika Inaweza kuonyeshwa kuwa mtengano wa vector katika msingi ni wa pekee. . Maana kuu ya msingi ni kwamba shughuli za mstari kwenye vekta huwa shughuli za kawaida za mstari kwenye nambari - kuratibu za vekta hizi. Kutumia sifa za uendeshaji wa mstari kwenye vekta, tunaweza kuthibitisha nadharia ifuatayo.

Nadharia. Wakati vekta mbili zinaongezwa, kuratibu zao zinazofanana huongezwa. Wakati vekta inapozidishwa na nambari, kuratibu zake zote zinazidishwa na nambari hiyo.

Kwa hivyo, ikiwa na , basi , wapi , na wapi , λ ni nambari fulani.

Kwa kawaida, seti ya vekta zote kwenye ndege, iliyopunguzwa kwa asili ya kawaida, na uendeshaji wa mstari ulioanzishwa, inaonyeshwa na V 2, na seti ya vectors zote katika nafasi, iliyopunguzwa kwa asili ya kawaida, inaonyeshwa na V 3. Seti V 2 na V 3 zinaitwa nafasi za vectors za kijiometri.

Pembe kati ya vekta na inaitwa pembe ndogo zaidi () ambayo moja ya vekta lazima izungushwe hadi inafanana na ya pili baada ya kuleta vekta hizi kwa asili ya kawaida.

Bidhaa ya nukta vekta mbili ni nambari sawa na bidhaa ya moduli ya vekta hizi na cosine ya pembe kati yao. Bidhaa ya scalar ya vekta na inaonyeshwa na , au

Ikiwa pembe kati ya vekta na ni sawa na , basi

Kwa mtazamo wa kijiometri, bidhaa ya scalar ya vekta ni sawa na bidhaa ya moduli ya vector moja na makadirio ya vector nyingine juu yake. Kutoka kwa usawa (2.2) inafuata hiyo

Kutoka hapa hali ya orthogonality ya vekta mbili: vekta mbili Na ni orthogonal ikiwa na tu ikiwa bidhaa zao za scalar ni sawa na sifuri, i.e. .

Bidhaa ya dot ya vekta sio operesheni ya mstari kwa sababu matokeo yake ni nambari, sio vekta.

Tabia za bidhaa za scalar.

1º. - mawasiliano.

2º. - usambazaji.

3º. - ushirika kwa heshima na sababu ya nambari.

4º. - mali ya mraba wa scalar.

Kutoka kwa mali 4º hufuata ufafanuzi urefu wa vekta :

Wacha msingi upewe katika nafasi V 3, ambapo veta ni veta za kitengo (zinaitwa vekta za kitengo), mwelekeo wa kila mmoja wao sanjari na mwelekeo mzuri wa shoka za kuratibu Ox, Oy, Oz ya uratibu wa Cartesian ya mstatili. mfumo.

Wacha tupanue vekta ya nafasi V 3 kulingana na msingi huu (Mchoro 2.15):

Vekta huitwa vipengele vya vekta pamoja na shoka za kuratibu, au vipengele, nambari a x , a y , a z- viwianishi vya Cartesian vya mstatili vya vekta A. Mwelekeo wa vector imedhamiriwa na pembe α, β, γ iliyoundwa nayo na mistari ya kuratibu. Cosine ya pembe hizi inaitwa vector ya mwelekeo. Kisha cosines ya mwelekeo imedhamiriwa na fomula:

Ni rahisi kuonyesha hivyo

Wacha tuonyeshe bidhaa ya scalar katika fomu ya kuratibu.

Liwe liwalo. Kuzidisha vekta hizi kama polynomials na kwa kuzingatia kwamba tunapata usemi wa kutafuta bidhaa ya nukta katika fomu ya kuratibu:

hizo. bidhaa ya scalar ya vectors mbili ni sawa na jumla ya bidhaa zilizounganishwa za kuratibu za jina moja.

Kutoka (2.6) na (2.4) hufuata fomula ya kutafuta urefu wa vekta :

Kutoka (2.6) na (2.7) tunapata fomula ya kuamua pembe kati ya vekta:

Mara tatu ya vectors inaitwa kuamuru ikiwa imeonyeshwa ni nani kati yao anachukuliwa kuwa wa kwanza, ambayo inachukuliwa kuwa ya pili, na ambayo inachukuliwa kuwa ya tatu.

Imeagizwa vekta tatu kuitwa haki , ikiwa baada ya kuwaleta kwa asili ya kawaida kutoka mwisho wa vector ya tatu, zamu fupi kutoka ya kwanza hadi ya pili ya vector inafanywa kinyume cha saa. Vinginevyo, mara tatu ya vectors inaitwa kushoto . Kwa mfano, katika Mchoro 2.15, vectors , , fomu ya tatu ya haki ya vectors, na vectors , , fomu ya tatu ya kushoto ya vectors.

Kwa njia sawa, dhana ya mifumo ya kuratibu ya kulia na ya kushoto katika nafasi ya tatu-dimensional imeanzishwa.

Mchoro wa Vector vekta kwa vekta ni vekta (nukuu nyingine) ambayo:

1) ina urefu, iko wapi pembe kati ya vekta na;

2) perpendicular kwa vectors na (), i.e. ni perpendicular kwa ndege ambayo vectors na;

Kwa ufafanuzi, tunapata bidhaa ya vekta ya vekta za kitengo cha kuratibu , , :

Ikiwa , , basi kuratibu za bidhaa ya vekta ya vekta na vekta imedhamiriwa na formula:

Kutoka kwa ufafanuzi ifuatavyo maana ya kijiometri ya sanaa ya vector : ukubwa wa vekta ni sawa na eneo la parallelogram iliyojengwa kwenye vekta na .

Tabia za bidhaa za vector:

4 0 . , ikiwa vekta na ni collinear, au moja ya vekta hizi ni sifuri.

Mfano 3. Parallelogram imejengwa kwenye vectors na , wapi , , . Kuhesabu urefu wa diagonal ya parallelogram hii, pembe kati ya diagonal na eneo la parallelogram.

Suluhisho. Ujenzi wa vectors na umeonyeshwa kwenye Mchoro 2.16, ujenzi wa parallelogram kwenye vectors hizi umeonyeshwa kwenye Mchoro 2.17.

Wacha tufanye suluhisho la uchambuzi kwa shida hii. Hebu tueleze vectors kufafanua diagonals ya parallelogram iliyojengwa kwa njia ya vectors na, na kisha kupitia na. Tunapata,. Ifuatayo, tunapata urefu wa diagonal za parallelogram kama urefu wa vekta zilizojengwa.

Pembe kati ya diagonal ya parallelogram inaonyeshwa na. Halafu kutoka kwa formula ya bidhaa ya scalar ya veta tunayo:

Kwa hivyo,.

Kutumia mali ya bidhaa ya vector, tunahesabu eneo la parallelogram:

Acha vekta tatu, na , zipewe. Wacha tufikirie kuwa vekta inazidishwa kwa njia ya vekta na vekta na vekta inayosababishwa inazidishwa kwa kasi na vekta, na hivyo kuamua nambari. Inaitwa vector-scalar au kazi mchanganyiko vekta tatu , na . Inaonyeshwa na au.

Hebu tujue maana ya kijiometri ya bidhaa mchanganyiko (Mchoro 2.18). Hebu , , isiwe coplanar. Wacha tujenge bomba la parallele kwenye veta hizi kama kwenye kingo. Bidhaa ya msalaba ni vekta ambayo moduli yake ni sawa na eneo la parallelogram (msingi wa parallelepiped), iliyojengwa kwenye vectors na inaelekezwa perpendicular kwa ndege ya parallelogram.

Bidhaa ya nukta (sawa na bidhaa ya moduli ya vekta na makadirio kwenye ). Urefu wa parallelepiped iliyojengwa ni thamani kamili ya makadirio haya. Kwa hiyo, thamani kamili ya bidhaa iliyochanganywa ya vectors tatu ni sawa na kiasi cha parallelepiped iliyojengwa kwenye vectors , na, i.e. .

Kutoka hapa, kiasi cha piramidi ya triangular iliyojengwa kwenye vectors na imehesabiwa na formula.

Hebu kumbuka baadhi zaidi mali ya mchanganyiko wa bidhaa vekta.

1 o. Ishara ya bidhaa ni chanya ikiwa vectors , , na kuunda mfumo wa jina sawa na moja kuu, na hasi vinginevyo.

Kweli, bidhaa ya scalar ni chanya ikiwa pembe kati na ni ya papo hapo na hasi ikiwa pembe ni butu. Kwa pembe ya papo hapo kati na , vectors na ziko upande mmoja kuhusiana na msingi wa parallelepiped, na kwa hiyo, kutoka mwisho wa vector, mzunguko kutoka hadi utaonekana kwa njia sawa na kutoka mwisho wa vector. vekta, i.e. kwa mwelekeo mzuri (kinyume cha saa).

Kwa pembe iliyo wazi, veta zote mbili na ziko kwa pande tofauti zinazohusiana na ndege ya parallelogram iliyo chini ya parallelepiped, na kwa hivyo, kutoka mwisho wa vekta, mzunguko kutoka hadi unaonekana kwa mwelekeo mbaya. mwendo wa saa).

2 o Bidhaa iliyochanganywa haibadiliki wakati vipengele vyake vinapangwa upya kwa mviringo: .

3 o Wakati vekta zozote mbili zimepangwa upya, bidhaa iliyochanganywa hubadilisha ishara pekee. Kwa mfano, , . , . - mifumo isiyojulikana.

Mfumo(3.1) inaitwa zenye homogeneous , ikiwa wanachama wote wako huru. Mfumo (3.1) inaitwa tofauti , ikiwa angalau mmoja wa wanachama huru.

Suluhisho la mfumo inaitwa seti ya nambari, wakati wa kuzibadilisha katika equations ya mfumo badala ya haijulikani sambamba, kila equation ya mfumo inageuka kuwa utambulisho. Mfumo ambao hauna suluhisho unaitwa haziendani, au utata . Mfumo ambao una angalau suluhisho moja huitwa pamoja .

Mfumo wa pamoja unaitwa fulani , ikiwa ina suluhisho la kipekee. Ikiwa mfumo thabiti una suluhisho zaidi ya moja, basi inaitwa kutokuwa na uhakika . Mfumo wa homogeneous daima ni thabiti, kwa kuwa una angalau ufumbuzi wa sifuri. Usemi kwa wasiojulikana ambao suluhisho lolote maalum la mfumo linaweza kupatikana linaitwa uamuzi wa jumla , na suluhisho lolote maalum la mfumo ni lake suluhisho la kibinafsi . Mifumo miwili na haijulikani sawa sawa (sawa ), ikiwa kila suluhisho la mmoja wao ni suluhisho la nyingine au mifumo yote miwili haiendani.

Wacha tuchunguze njia za kutatua mifumo ya hesabu za mstari.

Mojawapo ya njia kuu za kutatua mifumo ya equations za mstari ni Njia ya Gauss, au njia ya mfululizo kutengwa kwa wasiojulikana. Kiini cha njia hii ni kupunguza mfumo wa milinganyo ya mstari kwa fomu ya hatua. Katika kesi hii, equations zifuatazo zinapaswa kufanywa: mabadiliko ya msingi :

1. Kupanga upya milinganyo ya mfumo.

2. Kuongeza mlinganyo mwingine kwa mlinganyo mmoja.

3. Kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari tofauti na sifuri.

Kama matokeo, mfumo utachukua fomu:

Kuendeleza mchakato huu zaidi, tunaondoa haijulikani kutoka kwa usawa wote, kuanzia na ya tatu. Ili kufanya hivyo, zidisha equation ya pili kwa nambari na uongeze kwa 3, ..., hadi -th equation ya mfumo. Hatua zifuatazo za njia ya Gauss zinafanywa vile vile. Ikiwa kama matokeo ya mabadiliko tunapata equation inayofanana, basi tunaifuta kutoka kwa mfumo. Ikiwa katika hatua fulani ya njia ya Gaussian equation ya fomu inapatikana:

basi mfumo unaozingatiwa hauendani na suluhisho lake zaidi hukoma. Ikiwa equation ya fomu (3.2) haipatikani wakati wa kufanya mabadiliko ya kimsingi, basi kwa si zaidi ya - mfumo wa hatua (3.1) utabadilishwa kuwa fomu ya hatua kwa hatua:

Ili kupata suluhisho fulani la mfumo, itakuwa muhimu kugawa maadili maalum kwa anuwai za bure katika (3.4).

Kumbuka kwamba kwa kuwa katika njia ya Gauss mabadiliko yote yanafanywa kwa coefficients ya equations isiyojulikana na maneno ya bure, kwa mazoezi njia hii hutumiwa kwa matrix inayojumuisha coefficients ya haijulikani na safu ya maneno ya bure. Matrix hii inaitwa kupanuliwa. Kutumia mabadiliko ya kimsingi, matrix hii hupunguzwa kwa fomu ya hatua kwa hatua. Kisha, kwa kutumia matrix inayosababisha, mfumo unajengwa upya na hoja zote za awali zinatumika kwake.

Mfano 1. Tatua mfumo:

Suluhisho. Tunaunda matrix iliyopanuliwa na kuipunguza kwa fomu ya hatua kwa hatua:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - mstari wa pili ulizidishwa na mstari wa tatu ulivuka.

Kwa kutumia kuratibu, eneo la kitu kwenye dunia imedhamiriwa. Kuratibu huonyeshwa kwa latitudo na longitudo. Latitudo hupimwa kutoka kwa mstari wa ikweta pande zote mbili. Katika Ulimwengu wa Kaskazini latitudo ni chanya, katika Ulimwengu wa Kusini ni hasi. Longitudo hupimwa kutoka kwa meridian kuu ama mashariki au magharibi, kwa mtiririko huo, longitudo ya mashariki au magharibi hupatikana.

Kulingana na msimamo unaokubalika kwa ujumla, meridian kuu inachukuliwa kuwa ile ambayo inapita kwenye Kituo cha Kuangalia cha zamani cha Greenwich huko Greenwich. Kuratibu za kijiografia za eneo zinaweza kupatikana kwa kutumia navigator ya GPS. Kifaa hiki hupokea ishara za mfumo wa kuweka nafasi za satelaiti katika mfumo wa kuratibu wa WGS-84, sare kwa ulimwengu wote.

Mifano ya Navigator hutofautiana katika mtengenezaji, utendaji na interface. Hivi sasa, navigator za GPS zilizojengewa ndani zinapatikana pia katika baadhi ya miundo ya simu za rununu. Lakini mtindo wowote unaweza kurekodi na kuhifadhi kuratibu za uhakika.

Umbali kati ya viwianishi vya GPS

Ili kutatua shida za vitendo na za kinadharia katika tasnia fulani, ni muhimu kuweza kuamua umbali kati ya vidokezo na kuratibu zao. Kuna njia kadhaa unaweza kufanya hivyo. Fomu ya kisheria ya kuwakilisha kuratibu za kijiografia: digrii, dakika, sekunde.

Kwa mfano, unaweza kuamua umbali kati ya kuratibu zifuatazo: hatua No. 1 - latitudo 55°45′07″ N, longitudo 37°36′56″ E; uhakika Nambari 2 - latitudo 58°00′02″ N, longitudo 102°39′42″ E.

Njia rahisi ni kutumia calculator kuhesabu urefu kati ya pointi mbili. Katika injini ya utafutaji ya kivinjari, lazima uweke vigezo vya utafutaji vifuatavyo: mtandaoni - kuhesabu umbali kati ya kuratibu mbili. Katika kikokotoo cha mkondoni, maadili ya latitudo na longitudo huingizwa kwenye uwanja wa hoja kwa kuratibu za kwanza na za pili. Wakati wa kuhesabu, calculator online alitoa matokeo - 3,800,619 m.

Njia inayofuata ni ya kazi zaidi, lakini pia inaonekana zaidi. Ni lazima utumie mpango wowote wa ramani au urambazaji unaopatikana. Programu ambazo unaweza kuunda pointi kwa kutumia kuratibu na kupima umbali kati yao ni pamoja na programu zifuatazo: BaseCamp (analog ya kisasa ya mpango wa MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Programu zote hapo juu zinapatikana kwa mtumiaji yeyote wa mtandao. Kwa mfano, kuhesabu umbali kati ya kuratibu mbili kwenye Google Earth, unahitaji kuunda lebo mbili zinazoonyesha kuratibu za hatua ya kwanza na ya pili. Kisha, kwa kutumia chombo cha "Mtawala", unahitaji kuunganisha alama za kwanza na za pili kwa mstari, programu itaonyesha moja kwa moja matokeo ya kipimo na kuonyesha njia kwenye picha ya satelaiti ya Dunia.

Katika kesi ya mfano uliotolewa hapo juu, mpango wa Google Earth ulirudisha matokeo - urefu wa umbali kati ya hatua ya 1 na hatua ya 2 ni 3,817,353 m.

Kwa nini kuna hitilafu wakati wa kuamua umbali

Mahesabu yote ya kiwango kati ya kuratibu yanategemea hesabu ya urefu wa arc. Radi ya Dunia inahusika katika kuhesabu urefu wa arc. Lakini kwa kuwa sura ya Dunia iko karibu na ellipsoid ya oblate, radius ya Dunia inatofautiana katika pointi fulani. Ili kuhesabu umbali kati ya kuratibu, thamani ya wastani ya radius ya Dunia inachukuliwa, ambayo inatoa hitilafu katika kipimo. Kadiri umbali unavyopimwa, ndivyo makosa yanavyoongezeka.