புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை தீர்மானித்தல். ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்.
ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள்

விமானத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் A அதன் ஆயத்தொகுப்புகளால் (x, y) வகைப்படுத்தப்படுகிறது. அவை புள்ளி 0 இலிருந்து வெளிவரும் திசையன் 0A இன் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன - ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம்.

A மற்றும் B ஆகியவை முறையே ஆய (x 1 y 1) மற்றும் (x 2, y 2) கொண்ட விமானத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளிகளாக இருக்கட்டும்.

பின்னர் திசையன் AB வெளிப்படையாக ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது (x 2 - x 1, y 2 - y 1). ஒரு திசையன் நீளத்தின் சதுரம் அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது. எனவே, புள்ளிகள் A மற்றும் B இடையே உள்ள தூரம், அல்லது, AB இன் திசையன் நீளம், நிபந்தனையிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம், இந்த புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மட்டுமே தெரிந்தால், விமானத்தில் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

ஒவ்வொரு முறையும் நாம் விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைப் பற்றி பேசும்போது, ​​நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு x0y என்று அர்த்தம். பொதுவாக, ஒரு விமானத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை வெவ்வேறு வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம். எனவே, x0y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு பதிலாக, நீங்கள் x"0y" ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்ளலாம், இது தொடக்கப் புள்ளி 0 ஐச் சுற்றி பழைய ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. எதிரெதிர் திசையில்மூலையில் அம்புகள் α .

x0y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள விமானத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஆயத்தொலைவுகள் (x, y) இருந்தால், புதிய ஆய அமைப்பில் x"0y" வெவ்வேறு ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும் (x, y").

எடுத்துக்காட்டாக, 0x அச்சில் அமைந்துள்ள புள்ளி M ஐக் கருதுங்கள் மற்றும் புள்ளி 0 இலிருந்து 1 தூரத்தில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.

வெளிப்படையாக, x0y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இந்த புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது (cos α ,பாவம் α ), மற்றும் x"0y" ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஆயத்தொகுப்புகள் (1,0) ஆகும்.

விமானம் A மற்றும் B இல் உள்ள ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் இந்த விமானத்தில் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு எவ்வாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பொறுத்தது. ஆனால் இந்த புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் குறிப்பிடும் முறையைப் பொறுத்தது அல்ல. இந்த முக்கியமான சூழ்நிலையை அடுத்த பத்தியில் குறிப்பிடத்தக்க வகையில் பயன்படுத்துவோம்.

பயிற்சிகள்

I. ஆயத்தொலைவுகளுடன் விமானத்தின் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்:

1) (3.5) மற்றும் (3.4); 3) (0.5) மற்றும் (5, 0); 5) (-3,4) மற்றும் (9, -17);

2) (2, 1) மற்றும் (- 5, 1); 4) (0, 7) மற்றும் (3,3); 6) (8, 21) மற்றும் (1, -3).

II. சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவைக் கண்டறியவும்:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 மற்றும் y = 1.

III. x0y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், M மற்றும் N புள்ளிகள் முறையே ஆயத்தொகுதிகள் (1, 0) மற்றும் (0,1) உள்ளன. இந்த புள்ளிகளின் ஆயங்களை புதிய ஆய அமைப்பில் கண்டறியவும், இது பழைய அச்சுகளை தொடக்கப் புள்ளியைச் சுற்றி 30° எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

IV. x0y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், புள்ளிகள் M மற்றும் N ஆய (2, 0) மற்றும் (\ / 3/2, - 1/2) முறையே. இந்த புள்ளிகளின் ஆயங்களை புதிய ஆய அமைப்பில் கண்டறியவும், இது பழைய அச்சுகளை தொடக்கப் புள்ளியைச் சுற்றி 30° கடிகார திசையில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

இங்கே ஒரு கால்குலேட்டர் இருக்கும்

ஒரு வரியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

2 புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்ட ஒரு ஒருங்கிணைப்பு வரியைக் கவனியுங்கள்: ஒரு ஏ ஏமற்றும் பி பி பி. இந்த புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிய, நீங்கள் பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஏ பி ஏபி ஏ பி. இது பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது:

ஒரு வரியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

எங்கே a, b a, b a, b- இந்த புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரு நேர் கோட்டில் (ஒருங்கிணைந்த கோடு).

சூத்திரத்தில் ஒரு மாடுலஸ் இருப்பதால், அதைத் தீர்க்கும்போது, ​​எந்த ஒருங்கிணைப்பைக் கழிப்பது என்பது முக்கியமல்ல (இந்த வேறுபாட்டின் முழுமையான மதிப்பு எடுக்கப்பட்டதால்).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b -a∣

இத்தகைய பிரச்சனைகளுக்கான தீர்வை நன்கு புரிந்துகொள்ள ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

புள்ளிகள் ஒருங்கிணைப்பு வரியில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன ஒரு ஏ ஏ, அதன் ஒருங்கிணைப்பு சமம் 9 9 9 மற்றும் காலம் பி பி பிஒருங்கிணைப்புடன் − 1 -1 − 1 . இந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான தூரத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

தீர்வு

இங்கே a = 9, b = - 1 a=9, b=-1 a =9 , b =− 1

நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம்:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 - (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

பதில்

ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

ஒரு விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள். விமானத்தில் குறிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும், நீங்கள் இரண்டு செங்குத்துகளைக் குறைக்க வேண்டும்: அச்சுக்கு O X OX ஓ எக்ஸ்மற்றும் அச்சில் ஓ ஒய் ஓய் OY. பின்னர் முக்கோணம் கருதப்படுகிறது ஏ பி சி ஏபிசி ஏ பி சி. செவ்வக வடிவில் இருப்பதால் ( பி சி கி.மு பி சிசெங்குத்தாக ஏ சி ஏசி ஏ சி), பின்னர் பிரிவைக் கண்டறியவும் ஏ பி ஏபி ஏ பிபித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரமும் ஆகும். எங்களிடம் உள்ளது:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2ஏ பி 2 = ஏ சி 2 + பி சி 2

ஆனால், நீளம் என்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது ஏ சி ஏசி ஏ சிசமமாக x B - x A x_B-x_A எக்ஸ் பி​ − எக்ஸ் ஏ​ , மற்றும் நீளம் பி சி கி.மு பி சிசமமாக y B - y A y_B-y_A ஒய் பி​ − ஒய் ஏ​ , இந்த சூத்திரத்தை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(எக்ஸ் பி​ − எக்ஸ் ஏ​ ) 2 + (ஒய் பி​ − ஒய் ஏ​ ) 2 ​ ,

எங்கே x A , y A x_A, y_A எக்ஸ் ஏ​ , ஒய் ஏ​ மற்றும் x B, y B x_B, y_B எக்ஸ் பி​ , ஒய் பி​ - புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரு ஏ ஏமற்றும் பி பி பிமுறையே.

உதாரணம் 2

புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம் சி சி சிமற்றும் எஃப் எஃப் எஃப், முதல் ஆயங்கள் என்றால் (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , மற்றும் இரண்டாவது - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

தீர்வு

X C = 8 x_C = 8 எக்ஸ் சி​ = 8
y C = - 1 y_C=-1 ஒய் சி​ = − 1
x F = 4 x_F=4 எக்ஸ் எஃப்​ = 4
y F = 2 y_F=2 ஒய் எஃப்​ = 2

C F = (x F - x C) 2 + (y F - y C) 2 = (4 - 8) 2 + (2 - (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt((( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5சி எஃப் =(எக்ஸ் எஃப்​ − எக்ஸ் சி​ ) 2 + (ஒய் எஃப்​ − ஒய் சி​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

பதில்

விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்

இந்த வழக்கில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிவது முந்தையதைப் போலவே உள்ளது, தவிர, விண்வெளியில் உள்ள புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் மூன்று எண்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன; அதன்படி, பயன்பாட்டு அச்சின் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தில் சேர்க்கப்பட வேண்டும். சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:

விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + (z B - z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(எக்ஸ் பி​ − எக்ஸ் ஏ​ ) 2 + (ஒய் பி​ − ஒய் ஏ​ ) 2 + (z பி​ − zஏ​ ) 2 ​

எடுத்துக்காட்டு 3

பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் FK FKஎஃப்கேவிண்வெளியில் அதன் முனைகளில் உள்ள புள்ளிகளின் ஆயங்கள் பின்வருமாறு இருந்தால்: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) மற்றும் (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . உங்கள் பதிலை அருகில் உள்ள முழு எண்ணுடன் வட்டமிடுங்கள்.

தீர்வு

$எஃப்=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)கே=(-3;6;0)$

$எஃப்கே=\sqrt{({எக்ஸ்}^{கே-{எக்ஸ்}^{எஃப்{)}^{2+({ஒய்}^{கே-{ஒய்}^{எஃப்{)}^{2+(z^{கே-z^{எஃப்{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, ஒரு முழு எண்ணுக்கு நாம் பதிலைச் சுற்ற வேண்டும்.

சொற்பொழிவு: இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்திற்கான சூத்திரம்; கோளத்தின் சமன்பாடு

இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

முந்தைய கேள்வியில் ஒரு வரியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிய, d = x 2 – x 1 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம்.

ஆனால் விமானத்தைப் பொறுத்தவரை, விஷயங்கள் வேறு. ஆய வேறுபாடுகளைக் கண்டறிவது மட்டும் போதாது. புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

எடுத்துக்காட்டாக, உங்களிடம் சில ஆயத்தொலைவுகளுடன் இரண்டு புள்ளிகள் இருந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தை பின்வருமாறு காணலாம்:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 - 6) 2) 1/2 ≈ 10.6.

அதாவது, ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிட, ஆய வேறுபாடுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், கூடுதல் ஒருங்கிணைப்புடன் இதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

கோள சமன்பாடு

விண்வெளியில் ஒரு கோளத்தை வரையறுக்க, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த, அதன் மையத்தின் ஆயங்களையும், அதன் ஆரத்தையும் நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்:

இந்த சமன்பாடு ஒரு கோளத்தை ஒத்துள்ளது, அதன் மையம் தோற்றத்தில் உள்ளது.

கோளத்தின் மையம் அச்சுகளுடன் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான அலகுகளால் மாற்றப்பட்டால், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

விடு , (படம் 2.3). கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

படம் 2.3. இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்.

நாம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் படி செவ்வகத்திலிருந்து

அது ,

இந்த சூத்திரம் புள்ளிகள் மற்றும் .

II. இந்த வகையில் ஒரு பிரிவின் பிரிவு:

விடுங்கள்,. அதை கண்டுபிடிக்க வேண்டும் , பிரிவில் பொய் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட விகிதத்தில் அதை பிரித்து (படம் 2.4.).

படம் 2.4. இந்த வகையில் ஒரு பிரிவின் பிரிவு.

ஒற்றுமையிலிருந்து ~, அதாவது எங்கிருந்து. அதேபோல்.

இதனால்,

- தொடர்பாக ஒரு பகுதியைப் பிரிப்பதற்கான சூத்திரம்.

என்றால், பின்னர்

- பிரிவின் நடுப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவுகள்.

கருத்து.பெறப்பட்ட சூத்திரங்கள் ஒரு இடஞ்சார்ந்த செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் விஷயத்தில் பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். புள்ளிகளை விடுங்கள், . பிறகு

- புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் மற்றும் .

உறவில் ஒரு பகுதியைப் பிரிப்பதற்கான சூத்திரம்.

கார்ட்டீசியன் அமைப்புகளுக்கு மேலதிகமாக, ஒரு விமானத்திலும் விண்வெளியிலும் ஏராளமான பிற ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளை உருவாக்க முடியும், அதாவது, இரண்டு அல்லது மூன்று எண் அளவுருக்கள் (ஆயங்கள்) பயன்படுத்தி ஒரு விமானத்தில் அல்லது விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியின் நிலையை வகைப்படுத்துவதற்கான வழிகள். தற்போதுள்ள சில ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு விமானத்தில் அதை தீர்மானிக்க முடியும் துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு , இது குறிப்பாக, சுழற்சி இயக்கங்களின் ஆய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

படம் 2.5. துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு.

விமானத்தில் ஒரு புள்ளியையும் அதிலிருந்து வெளிவரும் ஒரு அரைக் கோட்டையும் சரிசெய்வோம், மேலும் ஒரு அளவிலான அலகு ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (படம் 2.5). புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது கம்பம் , அரை வரி - துருவ அச்சு . ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளிக்கு இரண்டு எண்களை ஒதுக்குவோம்:

– துருவ ஆரம் , புள்ளி M முதல் துருவம் O வரையிலான தூரத்திற்கு சமம்;

– துருவ கோணம் , துருவ அச்சுக்கும் அரைக்கோடுக்கும் இடையே உள்ள கோணத்திற்கு சமம்.

ரேடியன்களில் அளவிடப்படுகிறது, மதிப்புகளின் நேர்மறை திசையானது எதிரெதிர் திசையில் இருந்து கணக்கிடப்படுகிறது, பொதுவாக கருதப்படுகிறது.

துருவ ஆரம் துருவத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது; துருவ கோணம் அதற்கு வரையறுக்கப்படவில்லை.

செவ்வக மற்றும் துருவ ஆயங்களுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பைக் கண்டறியலாம் (படம் 2.6).

படம் 2.6. செவ்வக மற்றும் துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளுக்கு இடையிலான உறவு.

செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றத்தை ஒரு துருவமாகக் கருதுவோம், மேலும் கதிரை துருவ அச்சாகக் கருதுவோம். நாம் - ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் மற்றும் - ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில். செவ்வக மற்றும் துருவ ஆயங்களுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பைக் கண்டறியலாம்.

செவ்வகத்திலிருந்து, மற்றும் செவ்வகத்திலிருந்து. இவ்வாறு, சூத்திரங்கள்

ஒரு புள்ளியின் செவ்வக ஆயங்களை அதன் துருவ ஆயங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தவும்.

தலைகீழ் உறவு சூத்திரங்களால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

கருத்து.துருவ கோணத்தை சூத்திரத்திலிருந்தும் தீர்மானிக்க முடியும், முன்பு புள்ளி இருக்கும் செவ்வக ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து தீர்மானிக்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு புள்ளியின் துருவ ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்; துருவ கோணம் நிபந்தனைகளிலிருந்து கண்டறியப்படுகிறது:

எனவே, எனவே.

உதாரணம் 2.புள்ளியின் செவ்வக ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்

நாம் பெறுகிறோம்.

முப்பரிமாண இடத்தில், செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு கூடுதலாக, உருளை மற்றும் கோள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

உருளை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புவிமானத்தில் உள்ள ஒரு துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு, இந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு இடஞ்சார்ந்த அச்சு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது (படம் 2.7). எந்த புள்ளியின் நிலையும் மூன்று எண்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது - அதன் உருளை ஆயத்தொலைவுகள்: , துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் மீது புள்ளியின் முன்கணிப்பின் துருவ ஆயத்தொலைவுகள் (துருவ ஆரம் மற்றும் துருவ கோணம்) எங்கே மற்றும் உள்ளன - பயன்பாடு, புள்ளியில் இருந்து குறிப்பிட்ட விமானத்திற்கான தூரத்திற்கு சமம்.

படம் 2.7. உருளை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு

செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கும் உருளை வடிவத்திற்கும் இடையிலான உறவை நிறுவ, படம் 2.8 இல் உள்ளதைப் போல அவற்றை ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பிடுகிறோம் (விமானத்தை விமானத்தில் வைக்கிறோம், மேலும் துருவ அச்சு அச்சின் நேர்மறையான திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது. இரண்டு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளிலும் பொதுவானது).

புள்ளியின் செவ்வக ஆயங்களாக இருக்கட்டும், இந்த புள்ளியின் உருளை ஆயங்களாக இருக்கட்டும், மேலும் புள்ளியின் திட்டமாக விமானத்தின் மீது இருக்கட்டும். பிறகு

ஒரு புள்ளியின் செவ்வக மற்றும் உருளை ஆயங்களை இணைக்கும் சூத்திரங்கள்.

படம் 2.8. செவ்வக கார்ட்டீசியன் இடையே உள்ள உறவு

மற்றும் உருளை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள்

கருத்து.சுழற்சியின் உடல்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது உருளை ஆயத்தொலைவுகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அச்சு சுழற்சியின் அச்சில் அமைந்துள்ளது.

கோள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புபின்வருமாறு கட்டமைக்க முடியும். விமானத்தில் உள்ள துருவ அச்சை தேர்வு செய்வோம். புள்ளியின் மூலம் நாம் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம் (சாதாரண). விண்வெளியில் உள்ள எந்தப் புள்ளியும் மூன்று உண்மையான எண்களுடன் தொடர்புபடுத்தப்படலாம், புள்ளியில் இருந்து தூரம் எங்கே, அச்சுக்கும் பிரிவின் விமானத்தின் மீதான திட்டத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம், மேலும் இது சாதாரண மற்றும் பிரிவுக்கு இடையிலான கோணமாகும். அதை கவனி , , .

நாம் விமானத்தில் விமானத்தை நிலைநிறுத்தி, அச்சின் நேர்மறையான திசையுடன் ஒத்துப்போகும் துருவ அச்சைத் தேர்ந்தெடுத்து, அச்சை இயல்பானதாகத் தேர்ந்தெடுத்தால் (படம் 2.9), இந்த இரண்டு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளை இணைக்கும் சூத்திரங்களைப் பெறுவோம்.

படம் 2.9. கோள மற்றும் செவ்வக கார்ட்டீசியன் இடையே உள்ள உறவு

ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள்

அளவிடல் அளவுகள்,அல்லது ஸ்கேலர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அலகுகளின் அமைப்பில் அவற்றின் எண் மதிப்பால் முழுமையாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. திசையன் அளவுகள் அல்லது திசையன்கள், அவற்றின் எண் மதிப்புடன் கூடுதலாக, ஒரு திசையையும் கொண்டிருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, காற்று 10 மீ/வி வேகத்தில் வீசுகிறது என்று சொன்னால், காற்றின் வேகத்தின் ஒரு அளவிடல் மதிப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம், ஆனால் தென்மேற்கு காற்று 10 மீ/வி வேகத்தில் வீசுகிறது என்று சொன்னால், இந்த வழக்கில் காற்றின் வேகம் ஏற்கனவே ஒரு திசையனாக இருக்கும்.

திசையன்ஒரு குறிப்பிட்ட நீளம் கொண்ட இயக்கிய பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. ஒரு குறிப்பிட்ட நீளத்தின் ஒரு பகுதி, இதில் கட்டுப்படுத்தும் புள்ளிகளில் ஒன்று தொடக்கமாகவும், இரண்டாவது - முடிவாகவும் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. வெக்டரை அல்லது (படம் 2.10) குறிப்போம்.

ஒரு திசையனின் நீளம் குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது அல்லது திசையன் மாடுலஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. 1 நீளம் கொண்ட திசையன் அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றை . திசையன் அழைக்கப்படுகிறது பூஜ்யம் , அதன் தொடக்கமும் முடிவும் ஒத்துப்போனால், θ அல்லது . பூஜ்ய வெக்டருக்கு குறிப்பிட்ட திசை இல்லை மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான நீளம் உள்ளது. ஒரே கோட்டில் அல்லது இணையான கோடுகளில் அமைந்துள்ள திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோலினியர் . இரண்டு திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன சமமான , அவை கோலினியர் என்றால், ஒரே நீளமும் ஒரே திசையும் இருக்கும். அனைத்து பூஜ்ஜிய திசையன்களும் சமமாகக் கருதப்படுகின்றன.

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட இரண்டு கோலினியர் திசையன்கள், சம அளவுகளைக் கொண்டவை, ஆனால் எதிர் திசைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எதிர் . எதிர் திசையன், எதிர் திசையன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது.

எண்ணுக்கு நேரியல் செயல்பாடுகள் வெக்டார்களுக்கு மேல் கூட்டல், வெக்டார்களைக் கழித்தல் மற்றும் எண்ணால் ஒரு திசையன் பெருக்கல் செயல்பாடுகள் அடங்கும், அதாவது. ஒரு திசையன் விளைவாக செயல்படும் செயல்பாடுகள்.

திசையன்களில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட செயல்பாடுகளை வரையறுப்போம். இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் கொடுக்கப்பட்டதாக இருக்கட்டும். ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி O ஐ எடுத்து ஒரு திசையனை உருவாக்குவோம், மேலும் A புள்ளியில் இருந்து திசையன் வரைவோம். பின்னர் வெக்டரின் முதல் காலத்தின் தொடக்கத்தை இரண்டாவது முடிவோடு இணைக்கும் திசையன் அழைக்கப்படுகிறது தொகை இந்த திசையன்கள் ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன. திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியும் விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது முக்கோண விதிகள் (படம் 2.11).

திசையன்களின் அதே தொகையை மற்றொரு வழியில் பெறலாம் (படம் 2.12). புள்ளியிலிருந்து திசையன் மற்றும் திசையன் ஆகியவற்றைத் திட்டமிடுவோம். இந்த திசையன்களில் பக்கவாட்டில் உள்ளதைப் போல ஒரு இணையான வரைபடத்தை உருவாக்குவோம். உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டமான திசையன், கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும். தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான இந்த விதி அழைக்கப்படுகிறது இணையான வரைபட விதிகள் .

எந்த வரையறுக்கப்பட்ட திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை உடைந்த வரி விதியைப் பயன்படுத்தி பெறலாம் (படம் 2.13). ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியில் இருந்து நாம் ஒரு திசையன் வரைகிறோம், பின்னர் நாம் ஒரு திசையன், முதலியன திட்டமிடுகிறோம். முதலின் தொடக்கத்தையும் கடைசியின் இறுதியையும் இணைக்கும் திசையன் கூட்டுத்தொகை ஆகும்

தரவு திசையன்கள், அதாவது. . வெளிப்படையாக, வெக்டரின் கடைசி காலத்தின் முடிவு முதல் தொடக்கத்துடன் இணைந்தால், வெக்டார்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ய திசையனுக்கு சமம்.

வித்தியாசத்தால் இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் அத்தகைய திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது, கழித்த திசையன் மூலம் அதன் கூட்டுத்தொகை திசையன் அளிக்கிறது. இங்கிருந்து வேறுபாடு திசையன் அமைப்பதற்கான விதி(படம் 2.14). புள்ளியில் இருந்து நாம் திசையன் மற்றும் திசையன் வரைகிறோம். மினுஎண்ட் வெக்டரின் முனைகளையும் சப்ட்ராஹெண்ட் வெக்டரையும் இணைக்கும் திசையன் மற்றும் சப்ட்ராஹெண்டிலிருந்து மைன்எண்ட் வெக்டருக்கு இயக்கும் வித்தியாசம்.

ஒரு திசையன் தயாரிப்புஒரு உண்மையான எண்ணுக்கு λ என்பது திசையனுடன் கோலினியர் மற்றும் நீளம் மற்றும் திசையன் என்றால் அதே திசையையும், மற்றும் திசையன் என்றால் எதிர் திசையையும் கொண்ட ஒரு திசையன் ஆகும்.

உள்ளிட்ட நேரியல் செயல்பாடுகள் மேல் திசையன்கள் உள்ளன பண்புகள் :

10 . கூட்டல் பரிமாற்றம்: .

20 . கூட்டல் அசோசியேட்டிவிட்டி: .

முப்பது . கூடுதலாக ஒரு நடுநிலை உறுப்பு இருத்தல்: .

4 0 கூட்டல் மூலம் எதிர் உறுப்பு இருத்தல்:

50 . திசையன்களின் கூட்டலுடன் தொடர்புடைய எண்ணால் பெருக்கலின் பரவல்: .

6 0 . ஒரு திசையனை இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையால் பெருக்குவதன் பரவல்:

7 0 . எண்களின் பெருக்கத்தின் மூலம் திசையன் பெருக்குவது தொடர்பான அசோசியேட்டிவிட்டி பண்பு: .

திசையன்களின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட வேண்டும்:

λ i (i = 1,2,..., n) சில எண்களாக இருக்கும் வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் கலவை திசையன்களின் அமைப்புகள் (2.1). திசையன்களின் அமைப்பு (2.1) என்று அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் சார்ந்தது , அவற்றின் நேரியல் சேர்க்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அனைத்து எண்களும் λ 1, λ 2, ..., λ n பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை. திசையன்களின் அமைப்பு (2.1) என்று அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் சார்பற்றது , அனைத்து எண்களும் λ i = 0 () என்றால் மட்டுமே அவற்றின் நேரியல் கலவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். திசையன்களின் நேரியல் சார்புக்கான மற்றொரு வரையறையை நாம் கொடுக்கலாம். திசையன்களின் அமைப்பு (2.1) என்று அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் சார்ந்தது , இந்த அமைப்பின் ஏதேனும் திசையன் மற்றவற்றின் அடிப்படையில் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்பட்டால், இல்லையெனில் திசையன்களின் அமைப்பு (2.1) நேரியல் சார்பற்றது .

விமானத்தில் கிடக்கும் திசையன்களுக்கு, பின்வரும் அறிக்கைகள் உண்மை.

10 . ஒரு விமானத்தில் உள்ள எந்த மூன்று திசையன்களும் நேரியல் சார்ந்து இருக்கும்.

20 . விமானத்தில் உள்ள இந்த திசையன்களின் எண்ணிக்கை மூன்றிற்கு மேல் இருந்தால், அவை நேரியல் சார்ந்து இருக்கும்.

முப்பது . ஒரு விமானத்தில் உள்ள இரண்டு திசையன்கள் நேரியல் சார்பற்றதாக இருக்க, அவை கோலினியர் அல்லாதது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது.

எனவே, விமானத்தில் உள்ள நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை இரண்டு ஆகும்.

திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோப்ளனார் , அவர்கள் ஒரே விமானத்தில் படுத்திருந்தால் அல்லது ஒரே விமானத்திற்கு இணையாக இருந்தால். பின்வரும் கூற்றுகள் விண்வெளி திசையன்களுக்கு உண்மை.

10 . விண்வெளியின் ஒவ்வொரு நான்கு திசையன்களும் நேரியல் சார்ந்தவை.

20 . விண்வெளியில் உள்ள இந்த திசையன்களின் எண்ணிக்கை நான்கிற்கு மேல் இருந்தால், அவை நேரியல் சார்ந்தும் இருக்கும்.

முப்பது . மூன்று திசையன்கள் நேரியல் சார்பற்றதாக இருப்பதற்கு, அவை கோப்லானர் அல்லாதவையாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது.

ஆக, விண்வெளியில் உள்ள நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை மூன்று ஆகும்.

இந்த அமைப்பின் எந்த வெக்டரும் வெளிப்படுத்தப்படும் நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் அதிகபட்ச துணை அமைப்பு எனப்படும் அடிப்படையில் பரிசீலனையில் உள்ளது திசையன் அமைப்புகள் . விமானத்தின் அடிப்படையானது இரண்டு கோலினியர் அல்லாத திசையன்களைக் கொண்டுள்ளது என்றும், விண்வெளியில் உள்ள அடிப்படையானது மூன்று கோப்லனர் அல்லாத திசையன்களைக் கொண்டுள்ளது என்றும் முடிவு செய்வது எளிது. அடிப்படை திசையன்களின் எண்ணிக்கை அழைக்கப்படுகிறது தரவரிசை திசையன் அமைப்புகள். ஒரு திசையன் அடிப்படை திசையன்களாக விரிவடையும் குணகங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் இந்த அடிப்படையில்.

திசையன்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்கி விடுங்கள், பின்னர் எண்கள் λ 1, λ 2, λ 3 ஆகியவை வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளாகும். இந்த வழக்கில், எழுதுங்கள், அடிப்படையில் திசையனின் சிதைவு தனித்துவமானது என்பதைக் காட்டலாம். . அடிப்படையின் முக்கிய பொருள் என்னவென்றால், திசையன்களின் நேரியல் செயல்பாடுகள் எண்களில் சாதாரண நேரியல் செயல்பாடுகளாக மாறும் - இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள். திசையன்களில் நேரியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் தேற்றத்தை நாம் நிரூபிக்க முடியும்.

தேற்றம். இரண்டு திசையன்கள் சேர்க்கப்படும் போது, ​​அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயத்தொகுப்புகள் சேர்க்கப்படும். ஒரு வெக்டரை ஒரு எண்ணால் பெருக்கினால், அதன் அனைத்து ஆயங்களும் அந்த எண்ணால் பெருக்கப்படும்.

எனவே, என்றால் மற்றும் , பின்னர் , எங்கே , மற்றும் எங்கே , λ என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்.

பொதுவாக, விமானத்தில் உள்ள அனைத்து திசையன்களின் தொகுப்பும், அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் செயல்பாடுகளுடன், பொதுவான தோற்றத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டது, V 2 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் விண்வெளியில் உள்ள அனைத்து திசையன்களின் தொகுப்பும் பொதுவான தோற்றத்திற்குக் குறைக்கப்படுகிறது, V 3 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. V 2 மற்றும் V 3 செட்கள் அழைக்கப்படுகின்றன வடிவியல் திசையன்களின் இடைவெளிகள்.

திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்இந்த திசையன்களை ஒரு பொதுவான தோற்றத்திற்கு கொண்டு வந்த பிறகு, இரண்டாவதாக ஒத்துப்போகும் வரை திசையன்களில் ஒன்றைச் சுழற்ற வேண்டிய சிறிய கோணம் () என்று அழைக்கப்படுகிறது.

டாட் தயாரிப்புஇரண்டு திசையன்கள் என்பது இந்த திசையன்களின் மாடுலியின் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனுக்கும் சமமான எண்ணாகும். திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது, அல்லது

திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மற்றும் சமமாக இருந்தால், பிறகு

ஒரு வடிவியல் பார்வையில், திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு ஒரு திசையனின் மாடுலஸின் பெருக்கத்திற்கும் மற்றொரு திசையனின் திட்டத்திற்கும் சமமாகும். சமத்துவத்திலிருந்து (2.2) அது பின்வருமாறு

இங்கிருந்து இரண்டு திசையன்களின் ஆர்த்தோகனாலிட்டி நிலை: இரண்டு திசையன்கள்மற்றும் அவற்றின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அவை ஆர்த்தோகனல் ஆகும், அதாவது. .

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு ஒரு நேரியல் செயல்பாடு அல்ல, ஏனெனில் அதன் முடிவு ஒரு எண், ஒரு திசையன் அல்ல.

அளவிடுதல் உற்பத்தியின் பண்புகள்.

1º. - பரிமாற்றம்.

2º. - விநியோகம்.

3º. - ஒரு எண்ணியல் காரணி தொடர்பான தொடர்பு.

4º. - ஒரு அளவிடல் சதுரத்தின் சொத்து.

சொத்திலிருந்து 4º வரையறையைப் பின்பற்றுகிறது திசையன் நீளம் :

திசையன்கள் அலகு திசையன்கள் (அவை அலகு திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன) இடத்தில் V 3 இல் ஒரு அடிப்படை கொடுக்கப்பட வேண்டும், அவை ஒவ்வொன்றின் திசையும் செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பின் ஆக்ஸ், ஓய், ஓஸ் ஆகிய ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளின் நேர்மறை திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது. அமைப்பு.

இந்த அடிப்படையில் விண்வெளி திசையன் V 3 ஐ விரிவாக்குவோம் (படம் 2.15):

திசையன்கள் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் அல்லது கூறுகள், எண்களுடன் திசையன் கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன a x, a y, a zதிசையன் - செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகள் ஏ. திசையன் திசையானது ஆயக் கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட α, β, γ கோணங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த கோணங்களின் கோசைன் திசை திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் திசை கோசைன்கள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

அதைக் காட்டுவது எளிது

அளவிடல் தயாரிப்பை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் வெளிப்படுத்துவோம்.

இருக்கட்டும். இந்த திசையன்களை பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகப் பெருக்கி, கண்டுபிடிப்பதற்கான வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம் என்பதைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம் ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் அளவிடுதல் தயாரிப்பு:

அந்த. இரண்டு வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு அதே பெயரின் ஆயத்தொலைவுகளின் ஜோடி தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

(2.6) மற்றும் (2.4) இலிருந்து கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பின்பற்றுகிறது திசையன் நீளம் :

(2.6) மற்றும் (2.7) இலிருந்து தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம்:

அவற்றில் எது முதன்மையானது, எது இரண்டாவதாகக் கருதப்படுகிறது, எது மூன்றாவதாகக் கருதப்படுகிறது எனக் குறிப்பிடப்பட்டால் மூன்று திசையன்கள் ஆர்டர் எனப்படும்.

உத்தரவிட்டார் மூன்று திசையன்கள் அழைக்கப்பட்டது சரி , மூன்றாவது திசையன் முடிவில் இருந்து அவற்றை ஒரு பொதுவான தோற்றத்திற்கு கொண்டு வந்த பிறகு, முதல் திசையிலிருந்து இரண்டாவது திசையன் வரை குறுகிய திருப்பம் எதிரெதிர் திசையில் செய்யப்படுகிறது. இல்லையெனில், மூன்று திசையன்கள் அழைக்கப்படுகிறது விட்டு . எடுத்துக்காட்டாக, படம் 2.15 இல், திசையன்கள் , , திசையன்களின் வலது மும்மடங்கையும், மற்றும் திசையன்கள் , திசையன்களின் இடது மூன்று மடங்கையும் உருவாக்குகின்றன.

இதேபோல், முப்பரிமாண இடத்தில் வலது மற்றும் இடது ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளின் கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

திசையன் கலைப்படைப்புதிசையன் மூலம் திசையன் என்பது ஒரு திசையன் (மற்றொரு குறிப்பு)

1) நீளம் உள்ளது, திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மற்றும் ;

2) திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக மற்றும் (), அதாவது. திசையன்கள் மற்றும் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது;

வரையறையின்படி, ஆய அலகு திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியைக் காண்கிறோம் , ,:

, என்றால், ஒரு திசையன் மற்றும் திசையன் ஆகியவற்றின் திசையன் உற்பத்தியின் ஆயத்தொகுப்புகள் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

வரையறையிலிருந்து அது பின்வருமாறு திசையன் கலையின் வடிவியல் பொருள் : வெக்டரின் அளவு, திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பகுதிக்கு சமம் மற்றும் .

திசையன் தயாரிப்பின் பண்புகள்:

4 0 , திசையன்கள் மற்றும் கோலினியர் அல்லது இந்த திசையன்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால்.

எடுத்துக்காட்டு 3.இணையான வரைபடம் திசையன்கள் மற்றும் , எங்கே , , . இந்த இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளம், மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையிலான கோணம் மற்றும் இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.திசையன்களின் கட்டுமானம் மற்றும் படம் 2.16 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது, இந்த திசையன்களில் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் கட்டுமானம் படம் 2.17 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

இந்த சிக்கலுக்கு ஒரு பகுப்பாய்வு தீர்வை மேற்கொள்வோம். கட்டமைக்கப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்களை திசையன்கள் மூலம் வரையறுக்கும் திசையன்களை வெளிப்படுத்துவோம் மற்றும் , பின்னர் மூலம் மற்றும் . நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம், . அடுத்து, இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளம் கட்டப்பட்ட திசையன்களின் நீளங்களைக் காண்கிறோம்.

இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையிலான கோணம் ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. பின்னர் வெக்டார்களின் அளவிடல் தயாரிப்புக்கான சூத்திரத்திலிருந்து நம்மிடம் உள்ளது:

எனவே, .

திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, இணையான வரைபடத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுகிறோம்:

மூன்று திசையன்கள் , மற்றும் , கொடுக்கப்பட வேண்டும். திசையன் திசையன் மூலம் பெருக்கப்படுகிறது மற்றும் திசையன் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் திசையன் திசையன் மூலம் அளவிடப்படுகிறது, அதன் மூலம் எண்ணை தீர்மானிக்கிறது. இது வெக்டர்-ஸ்கேலர் அல்லது என்று அழைக்கப்படுகிறது கலப்பு வேலை மூன்று திசையன்கள் மற்றும் . அல்லது மூலம் குறிக்கப்படுகிறது.

நாம் கண்டுபிடிக்கலாம் கலப்பு பொருளின் வடிவியல் பொருள் (படம் 2.18). , , கோப்லானாராக இருக்கக்கூடாது. இந்த திசையன்களில் விளிம்புகளில் உள்ளதைப் போல ஒரு இணையான பைப்பை உருவாக்குவோம். குறுக்கு தயாரிப்பு என்பது ஒரு திசையன் ஆகும், அதன் மாடுலஸ் இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக உள்ளது (இணையான குழாய்களின் அடித்தளம்), இது திசையன்களின் மீது கட்டப்பட்டுள்ளது மற்றும் இணையான வரைபடத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இயக்கப்படுகிறது.

புள்ளி தயாரிப்பு (திசையியலின் மாடுலஸ் மற்றும் ப்ராஜெக்ஷன் மீதான தயாரிப்புக்கு சமம்). கட்டப்பட்ட parallelepiped உயரம் இந்த திட்டத்தின் முழுமையான மதிப்பு. இதன் விளைவாக, மூன்று திசையன்களின் கலப்பு உற்பத்தியின் முழுமையான மதிப்பு, வெக்டார்களில் கட்டப்பட்ட இணையான குழாய்களின் தொகுதிக்கு சமமாக இருக்கும், மற்றும், அதாவது. .

இங்கிருந்து, திசையன்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு முக்கோண பிரமிட்டின் அளவு மற்றும் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

இன்னும் சிலவற்றைக் கவனிக்கலாம் ஒரு கலப்பு பொருளின் பண்புகள் திசையன்கள்.

1 ஓ. திசையன்கள் , , மற்றும் முக்கிய பெயரின் அதே பெயரில் ஒரு அமைப்பை உருவாக்கினால் உற்பத்தியின் அடையாளம் நேர்மறையாகவும், இல்லையெனில் எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

உண்மையில், ஸ்கேலர் தயாரிப்பு இடையே உள்ள கோணம் நேர்மறையாக இருக்கும் மற்றும் கோணம் மழுங்கியதாக இருந்தால் அது கடுமையானதாகவும் எதிர்மறையாகவும் இருக்கும். மற்றும் இடையே ஒரு கடுமையான கோணத்தில், திசையன்கள் மற்றும் இணையான குழாய்களின் அடிப்பகுதியுடன் தொடர்புடைய ஒரு பக்கத்தில் அமைந்துள்ளன, எனவே, திசையன் முடிவில் இருந்து, க்கு இருந்து சுழற்சியின் முடிவில் இருந்து அதே வழியில் தெரியும். திசையன், அதாவது. நேர்மறை திசையில் (எதிர் கடிகார திசையில்).

ஒரு மழுங்கிய கோணத்தில், திசையன்கள் மற்றும் இரண்டும் இணையான பைப்பின் அடிப்பகுதியில் அமைந்துள்ள இணையான வரைபடத்தின் விமானத்துடன் தொடர்புடைய வெவ்வேறு பக்கங்களில் அமைந்துள்ளன, எனவே, திசையன் முடிவில் இருந்து, இருந்து சுழற்சி எதிர்மறை திசையில் தெரியும் ( கடிகாரகடிகாரச்சுற்று).

2 o ஒரு கலப்பு தயாரிப்பு அதன் காரணிகள் வட்டமாக மறுசீரமைக்கப்படும் போது மாறாது: .

3 o ஏதேனும் இரண்டு திசையன்கள் மறுசீரமைக்கப்படும் போது, ​​கலப்பு தயாரிப்பு குறியை மட்டும் மாற்றுகிறது. உதாரணத்திற்கு, , . , . - அறியப்படாத அமைப்புகள்.

அமைப்பு(3.1) என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரேவிதமான , அனைத்து உறுப்பினர்களும் சுதந்திரமாக இருந்தால் . அமைப்பு (3.1) என்று அழைக்கப்படுகிறது பன்முகத்தன்மை கொண்ட , இலவச உறுப்பினர்களில் குறைந்தபட்சம் ஒருவராக இருந்தால் .

அமைப்பு தீர்வுஎண்களின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, தொடர்புடைய தெரியாதவற்றிற்கு பதிலாக கணினியின் சமன்பாடுகளில் அவற்றை மாற்றும் போது, ​​அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாடும் ஒரு அடையாளமாக மாறும். தீர்வு இல்லாத அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது பொருந்தாத, அல்லது சர்ச்சைக்குரிய . குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு .

கூட்டு அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது உறுதி , அது ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு இருந்தால். ஒரு சீரான அமைப்பில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகள் இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது நிச்சயமற்ற . குறைந்தபட்சம் பூஜ்ஜிய தீர்வைக் கொண்டிருப்பதால், ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எப்போதும் சீரானது. கணினியின் எந்தவொரு குறிப்பிட்ட தீர்வையும் பெறக்கூடிய தெரியாதவற்றிற்கான ஒரு வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பொதுவான முடிவு , மற்றும் அமைப்பின் எந்தவொரு குறிப்பிட்ட தீர்வும் அதன் தனிப்பட்ட தீர்வு . அறியப்படாத ஒரே மாதிரியான இரண்டு அமைப்புகள் இணையான (இணையான ), அவற்றில் ஒன்றின் ஒவ்வொரு தீர்வும் மற்றொன்றின் தீர்வாக இருந்தால் அல்லது இரண்டு அமைப்புகளும் சீரற்றதாக இருந்தால்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய முறைகளில் ஒன்று காஸ் முறை, அல்லது வரிசை முறை தெரியாதவற்றை விலக்குதல். இந்த முறையின் சாராம்சம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு குறைப்பதாகும். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சமன்பாடுகள் செய்யப்பட வேண்டும்: அடிப்படை மாற்றங்கள் :

1. அமைப்பின் சமன்பாடுகளை மறுசீரமைத்தல்.

2. ஒரு சமன்பாட்டுடன் மற்றொரு சமன்பாட்டைச் சேர்த்தல்.

3. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் பெருக்குதல்.

இதன் விளைவாக, கணினி வடிவம் எடுக்கும்:

இந்த செயல்முறையை மேலும் தொடர்வதன் மூலம், மூன்றில் இருந்து தொடங்கி அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும் தெரியாதவற்றை அகற்றுவோம். இதைச் செய்ய, இரண்டாவது சமன்பாட்டை எண்களால் பெருக்கி, கணினியின் 3வது, ..., முதல் -வது சமன்பாட்டுடன் சேர்க்கவும். காஸ் முறையின் பின்வரும் படிகள் இதேபோல் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. மாற்றங்களின் விளைவாக நாம் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைப் பெற்றால், அதை கணினியிலிருந்து நீக்குகிறோம். காஸியன் முறையின் சில படிகளில் படிவத்தின் சமன்பாடு பெறப்பட்டால்:

பின்னர் பரிசீலனையில் உள்ள அமைப்பு சீரற்றது மற்றும் அதன் மேலும் தீர்வு நிறுத்தப்படும். அடிப்படை மாற்றங்களைச் செய்யும்போது படிவத்தின் (3.2) சமன்பாடு காணப்படாவிட்டால், அதற்கு மேல் - படிகள் அமைப்பு (3.1) படிநிலை வடிவமாக மாற்றப்படும்:

கணினியின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைப் பெற, (3.4) இல் உள்ள இலவச மாறிகளுக்கு குறிப்பிட்ட மதிப்புகளை ஒதுக்க வேண்டியது அவசியம்.

காஸ் முறையில் அனைத்து உருமாற்றங்களும் அறியப்படாத சமன்பாடுகள் மற்றும் இலவச சொற்களின் குணகங்களில் செய்யப்படுவதால், நடைமுறையில் இந்த முறை பொதுவாக அறியப்படாத குணகங்கள் மற்றும் இலவச சொற்களின் நெடுவரிசை ஆகியவற்றால் ஆன அணிக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த மேட்ரிக்ஸ் நீட்டிக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது. அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த அணி படிப்படியாக படிவமாக குறைக்கப்படுகிறது. பின்னர், விளைந்த மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி, கணினி புனரமைக்கப்படுகிறது மற்றும் முந்தைய அனைத்து காரணங்களும் அதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1.அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

தீர்வு.நாங்கள் நீட்டிக்கப்பட்ட அணியை உருவாக்கி, அதை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்குக் குறைக்கிறோம்:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - இரண்டாவது வரி பெருக்கப்பட்டது மற்றும் மூன்றாவது வரி கடக்கப்பட்டது.

ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி, உலகில் ஒரு பொருளின் இருப்பிடம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. ஆயத்தொலைவுகள் அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகையால் குறிக்கப்படுகின்றன. அட்சரேகைகள் இருபுறமும் பூமத்திய ரேகைக் கோட்டிலிருந்து அளவிடப்படுகின்றன. வடக்கு அரைக்கோளத்தில் அட்சரேகைகள் நேர்மறையாகவும், தெற்கு அரைக்கோளத்தில் எதிர்மறையாகவும் இருக்கும். தீர்க்கரேகையானது பிரைம் மெரிடியனில் இருந்து முறையே கிழக்கு அல்லது மேற்கிலிருந்து அளவிடப்படுகிறது, கிழக்கு அல்லது மேற்கு தீர்க்கரேகை பெறப்படுகிறது.

பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட நிலைப்பாட்டின் படி, கிரீன்விச்சில் உள்ள பழைய கிரீன்விச் ஆய்வகத்தின் வழியாகச் செல்லும் பிரதான நடுக்கோடு என்று எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. ஜிபிஎஸ் நேவிகேட்டரைப் பயன்படுத்தி இருப்பிடத்தின் புவியியல் ஒருங்கிணைப்புகளைப் பெறலாம். இந்த சாதனம் WGS-84 ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயற்கைக்கோள் பொருத்துதல் அமைப்பு சிக்னல்களைப் பெறுகிறது, இது உலகம் முழுவதும் ஒரே மாதிரியானது.

நேவிகேட்டர் மாதிரிகள் உற்பத்தியாளர், செயல்பாடு மற்றும் இடைமுகம் ஆகியவற்றில் வேறுபடுகின்றன. தற்போது, ​​சில செல்போன் மாடல்களில் உள்ளமைக்கப்பட்ட ஜிபிஎஸ் நேவிகேட்டர்களும் கிடைக்கின்றன. ஆனால் எந்த மாதிரியும் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை பதிவு செய்து சேமிக்க முடியும்.

GPS ஆயத்தொலைவுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

சில தொழில்களில் நடைமுறை மற்றும் தத்துவார்த்த சிக்கல்களைத் தீர்க்க, புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை அவற்றின் ஆயத்தொகுப்புகளால் தீர்மானிக்க முடியும். இதைச் செய்ய பல வழிகள் உள்ளன. புவியியல் ஆயங்களைக் குறிக்கும் நியமன வடிவம்: டிகிரி, நிமிடங்கள், வினாடிகள்.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் ஆயங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம்: புள்ளி எண் 1 - அட்சரேகை 55°45′07″ N, தீர்க்கரேகை 37°36′56″ E; புள்ளி எண். 2 - அட்சரேகை 58°00′02″ N, தீர்க்கரேகை 102°39′42″ E.

இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான நீளத்தைக் கணக்கிட கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்துவது எளிதான வழி. உலாவி தேடுபொறியில், நீங்கள் பின்வரும் தேடல் அளவுருக்களை அமைக்க வேண்டும்: ஆன்லைன் - இரண்டு ஆயத்தொலைவுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை கணக்கிட. ஆன்லைன் கால்குலேட்டரில், அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகை மதிப்புகள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்புகளுக்கான வினவல் புலங்களில் உள்ளிடப்படுகின்றன. கணக்கிடும் போது, ​​ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் முடிவைக் கொடுத்தது - 3,800,619 மீ.

அடுத்த முறை அதிக உழைப்பு-தீவிரமானது, ஆனால் மேலும் பார்வைக்குரியது. கிடைக்கக்கூடிய மேப்பிங் அல்லது வழிசெலுத்தல் திட்டத்தை நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும். ஆயத்தொலைவுகளைப் பயன்படுத்தி புள்ளிகளை உருவாக்கி அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தை அளவிடக்கூடிய நிரல்களில் பின்வரும் பயன்பாடுகள் அடங்கும்: BaseCamp (MapSource நிரலின் நவீன அனலாக்), Google Earth, SAS.Planet.

மேலே உள்ள அனைத்து நிரல்களும் எந்த நெட்வொர்க் பயனருக்கும் கிடைக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, கூகிள் எர்த்தில் இரண்டு ஆயத்தொலைவுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிட, முதல் புள்ளி மற்றும் இரண்டாவது புள்ளியின் ஆயங்களைக் குறிக்கும் இரண்டு லேபிள்களை உருவாக்க வேண்டும். பின்னர், “ஆட்சியாளர்” கருவியைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது மதிப்பெண்களை ஒரு வரியுடன் இணைக்க வேண்டும், நிரல் தானாகவே அளவீட்டு முடிவைக் காண்பிக்கும் மற்றும் பூமியின் செயற்கைக்கோள் படத்தில் பாதையைக் காண்பிக்கும்.

மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், கூகிள் எர்த் நிரல் முடிவை வழங்கியது - புள்ளி எண். 1 மற்றும் புள்ளி எண். 2 இடையே உள்ள தூரத்தின் நீளம் 3,817,353 மீ.

தூரத்தை தீர்மானிக்கும்போது ஏன் பிழை உள்ளது

ஆயத்தொலைவுகளுக்கு இடையிலான அளவின் அனைத்து கணக்கீடுகளும் வில் நீளத்தின் கணக்கீட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. பூமியின் ஆரம் வளைவின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதில் ஈடுபட்டுள்ளது. ஆனால் பூமியின் வடிவம் ஓப்லேட் நீள்வட்டத்திற்கு அருகில் இருப்பதால், பூமியின் ஆரம் சில புள்ளிகளில் மாறுபடும். ஆயத்தொலைவுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிட, பூமியின் ஆரத்தின் சராசரி மதிப்பு எடுக்கப்படுகிறது, இது அளவீட்டில் பிழையை அளிக்கிறது. எவ்வளவு தூரம் அளவிடப்படுகிறதோ, அவ்வளவு பெரிய பிழை.