Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ των σημείων. Απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο.
Συστήματα συντεταγμένων

Κάθε σημείο Α του επιπέδου χαρακτηρίζεται από τις συντεταγμένες του (x, y). Συμπίπτουν με τις συντεταγμένες του διανύσματος 0Α που βγαίνει από το σημείο 0 - η αρχή των συντεταγμένων.

Έστω Α και Β αυθαίρετα σημεία του επιπέδου με συντεταγμένες (x 1 y 1) και (x 2, y 2), αντίστοιχα.

Τότε το διάνυσμα ΑΒ έχει προφανώς συντεταγμένες (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Είναι γνωστό ότι το τετράγωνο του μήκους ενός διανύσματος είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των συντεταγμένων του. Επομένως, η απόσταση d μεταξύ των σημείων Α και Β, ή, το ίδιο, το μήκος του διανύσματος ΑΒ, προσδιορίζεται από τη συνθήκη

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Ο προκύπτων τύπος σάς επιτρέπει να βρείτε την απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων στο επίπεδο, εάν είναι γνωστές μόνο οι συντεταγμένες αυτών των σημείων

Κάθε φορά που μιλάμε για τις συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου σημείου στο επίπεδο, εννοούμε ένα καλά καθορισμένο σύστημα συντεταγμένων x0y. Γενικά, το σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο μπορεί να επιλεγεί με διαφορετικούς τρόπους. Έτσι, αντί για το σύστημα συντεταγμένων x0y, μπορείτε να εξετάσετε το σύστημα συντεταγμένων x"0y", το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους παλιούς άξονες συντεταγμένων γύρω από το σημείο εκκίνησης 0 αριστερόστροφαβέλη στη γωνία α .

Εάν ένα συγκεκριμένο σημείο του επιπέδου στο σύστημα συντεταγμένων x0y είχε συντεταγμένες (x, y), τότε στο νέο σύστημα συντεταγμένων x"0y" θα έχει διαφορετικές συντεταγμένες (x, y").

Ως παράδειγμα, θεωρήστε το σημείο M, που βρίσκεται στον άξονα 0x και χωρίζεται από το σημείο 0 σε απόσταση 1.

Προφανώς, στο σύστημα συντεταγμένων x0y αυτό το σημείο έχει συντεταγμένες (συν α ,αμαρτία α ), και στο σύστημα συντεταγμένων x"0y" οι συντεταγμένες είναι (1,0).

Οι συντεταγμένες οποιωνδήποτε δύο σημείων στο επίπεδο Α και Β εξαρτώνται από το πώς προσδιορίζεται το σύστημα συντεταγμένων σε αυτό το επίπεδο. Αλλά η απόσταση μεταξύ αυτών των σημείων δεν εξαρτάται από τη μέθοδο προσδιορισμού του συστήματος συντεταγμένων. Θα κάνουμε σημαντική χρήση αυτής της σημαντικής περίστασης στην επόμενη παράγραφο.

Γυμνάσια

I. Να βρείτε τις αποστάσεις μεταξύ σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες:

1) (3.5) και (3.4); 3) (0,5) και (5, 0); 5) (-3,4) και (9, -17);

2) (2, 1) και (- 5, 1); 4) (0, 7) και (3,3); 6) (8, 21) και (1, -3).

II. Να βρείτε την περίμετρο ενός τριγώνου του οποίου οι πλευρές δίνονται από τις εξισώσεις:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 και y = 1.

III. Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, τα σημεία M και N έχουν συντεταγμένες (1, 0) και (0,1), αντίστοιχα. Βρείτε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων στο νέο σύστημα συντεταγμένων, το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους παλιούς άξονες γύρω από το σημείο εκκίνησης κατά γωνία 30° αριστερόστροφα.

IV. Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, τα σημεία M και N έχουν συντεταγμένες (2, 0) και (\ / 3/2, - 1/2) αντίστοιχα. Βρείτε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων στο νέο σύστημα συντεταγμένων, το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους παλιούς άξονες γύρω από το σημείο εκκίνησης κατά γωνία 30° δεξιόστροφα.

Θα υπάρχει μια αριθμομηχανή εδώ

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια γραμμή

Θεωρήστε μια γραμμή συντεταγμένων στην οποία σημειώνονται 2 σημεία: Α Α ΕΝΑΚαι Β Β σι. Για να βρείτε την απόσταση μεταξύ αυτών των σημείων, πρέπει να βρείτε το μήκος του τμήματος Α Β ΑΒ Α Β. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια γραμμή

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|Α Β =∣a−β∣,

Οπου α , β α, β α, β- συντεταγμένες αυτών των σημείων σε ευθεία γραμμή (γραμμή συντεταγμένων).

Λόγω του γεγονότος ότι ο τύπος περιέχει συντελεστή, κατά την επίλυσή του, δεν έχει σημασία ποια συντεταγμένη να αφαιρεθεί από ποια (καθώς λαμβάνεται η απόλυτη τιμή αυτής της διαφοράς).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ β −α∣

Ας δούμε ένα παράδειγμα για να κατανοήσουμε καλύτερα τη λύση σε τέτοια προβλήματα.

Παράδειγμα 1

Τα σημεία σημειώνονται στη γραμμή συντεταγμένων Α Α ΕΝΑ, του οποίου η συντεταγμένη είναι ίση με 9 9 9 και περίοδος Β Β σιμε συντεταγμένη − 1 -1 − 1 . Πρέπει να βρούμε την απόσταση μεταξύ αυτών των δύο σημείων.

Λύση

Εδώ a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 α =9, b =− 1

Χρησιμοποιούμε τον τύπο και αντικαθιστούμε τις τιμές:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10Α Β =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Απάντηση

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο

Εξετάστε δύο σημεία που δίνονται σε ένα επίπεδο. Από κάθε σημείο που σημειώνεται στο επίπεδο, πρέπει να χαμηλώσετε δύο κάθετες: Στον άξονα O X OX O Xκαι στον άξονα O Y OY OY. Τότε εξετάζεται το τρίγωνο Α Β Γ ΑΒΓ Α Β Γ. Επειδή είναι ορθογώνιο ( Β Γ Π.Χ ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥκάθετος A C AC ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ), στη συνέχεια βρείτε το τμήμα Α Β ΑΒ Α Β, που είναι και η απόσταση μεταξύ των σημείων, μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Εχουμε:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2ΕΝΑ σι 2 = ΕΝΑ ντο 2 + σι ντο 2

Όμως, με βάση το γεγονός ότι το μήκος A C AC ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝίσο με x B − x A x_B-x_A Χ σι​ − Χ ΕΝΑ​ και το μήκος Β Γ Π.Χ ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥίσο με y B − y A y_B-y_A y σι​ − y ΕΝΑ​ , αυτός ο τύπος μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)Α Β =(Χ σι​ − Χ ΕΝΑ​ ) 2 + (y σι​ − y ΕΝΑ​ ) 2 ​ ,

Οπου x A, y A x_A, y_A Χ ΕΝΑ​ , y ΕΝΑ​ Και x B, y B x_B, y_B Χ σι​ , y σι​ - συντεταγμένες σημείων Α Α ΕΝΑΚαι Β Β σιαντίστοιχα.

Παράδειγμα 2

Είναι απαραίτητο να βρεθεί η απόσταση μεταξύ των σημείων Γ Γ ντοΚαι Φ Φ φά, αν οι συντεταγμένες του πρώτου (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , και δεύτερο - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Λύση

X C = 8 x_C=8 Χ ντο​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y ντο​ = − 1
x F = 4 x_F=4 Χ φά​ = 4
y F = 2 y_F=2 y φά​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(Χ φά​ − Χ ντο​ ) 2 + (y φά​ − y ντο​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Απάντηση

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο χώρο

Η εύρεση της απόστασης μεταξύ δύο σημείων σε αυτή την περίπτωση είναι παρόμοια με την προηγούμενη, με τη διαφορά ότι οι συντεταγμένες του σημείου στο χώρο καθορίζονται από τρεις αριθμούς· κατά συνέπεια, η συντεταγμένη του άξονα εφαρμογής πρέπει επίσης να προστεθεί στον τύπο. Ο τύπος θα μοιάζει με αυτό:

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο χώρο

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)Α Β =(Χ σι​ − Χ ΕΝΑ​ ) 2 + (y σι​ − y ΕΝΑ​ ) 2 + (z σι​ − zΕΝΑ​ ) 2 ​

Παράδειγμα 3

Βρείτε το μήκος του τμήματος FK FKφάκστο διάστημα αν οι συντεταγμένες των σημείων στα άκρα του είναι οι εξής: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Και (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό.

Λύση

$\phi ά=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)\kappa =(-3;6;0)$

$\phi ά\kappa =\sqrt{({{\rm X}}^{\kappa -{{\rm X}}^{\phi ά{)}^{2+(y^{\kappa -y^{\phi ά{)}^{2+(z^{\kappa -z^{\phi ά{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, πρέπει να στρογγυλοποιήσουμε την απάντηση σε έναν ακέραιο αριθμό.

Διάλεξη: Τύπος για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων. εξίσωση της σφαίρας

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων

Για να βρούμε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια ευθεία στην προηγούμενη ερώτηση, χρησιμοποιήσαμε τον τύπο d = x 2 – x 1.

Όμως, όσον αφορά το αεροπλάνο, τα πράγματα είναι διαφορετικά. Δεν αρκεί απλώς να βρείτε τη διαφορά στις συντεταγμένες. Για να βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες τους, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο:

Για παράδειγμα, εάν έχετε δύο σημεία με συγκεκριμένες συντεταγμένες, τότε μπορείτε να βρείτε την απόσταση μεταξύ τους ως εξής:

A (4;-1), B (-4;6):

ΑΒ = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

Δηλαδή, για να υπολογιστεί η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο να βρεθεί η ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των διαφορών των συντεταγμένων.

Εάν πρέπει να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν παρόμοιο τύπο με μια πρόσθετη συντεταγμένη:

Εξίσωση σφαίρας

Για να ορίσετε μια σφαίρα στο διάστημα, πρέπει να γνωρίζετε τις συντεταγμένες του κέντρου της, καθώς και την ακτίνα της, προκειμένου να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο:

Αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί σε μια σφαίρα της οποίας το κέντρο βρίσκεται στην αρχή.

Εάν το κέντρο της σφαίρας μετατοπίζεται κατά έναν ορισμένο αριθμό μονάδων κατά μήκος των αξόνων, τότε θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος τύπος.

Let , (Εικόνα 2.3). Απαιτείται να βρεθεί.

Εικόνα 2.3. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων.

Από το ορθογώνιο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε

Αυτό είναι ,

Αυτός ο τύπος ισχύει για οποιαδήποτε θέση σημείων και .

II. Διαίρεση τμήματος από αυτή την άποψη:

Αφήστε , . Απαιτείται να βρείτε το , που βρίσκεται στο τμήμα και διαιρώντας το σε μια δεδομένη αναλογία (Εικόνα 2.4.).

Εικόνα 2.4. Διαίρεση τμήματος από αυτή την άποψη.

Από την ομοιότητα ~, δηλαδή από πού. Επίσης.

Ετσι,

– τύπος για τη διαίρεση ενός τμήματος σε σχέση με .

Αν τότε

– συντεταγμένες του μέσου του τμήματος.

Σχόλιο.Οι παραγόμενοι τύποι μπορούν να γενικευθούν στην περίπτωση ενός χωρικού ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Αφήστε τα σημεία , . Επειτα

- τύπος για την εύρεση της απόστασης μεταξύ σημείων και .

Τύπος για τη διαίρεση ενός τμήματος σε σχέση.

Εκτός από τα καρτεσιανά, ένας μεγάλος αριθμός άλλων συστημάτων συντεταγμένων μπορεί να κατασκευαστεί σε ένα επίπεδο και στο χώρο, δηλαδή τρόπους για να χαρακτηριστεί η θέση ενός σημείου σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα χρησιμοποιώντας δύο ή τρεις αριθμητικές παραμέτρους (συντεταγμένες). Ας εξετάσουμε μερικά από τα υπάρχοντα συστήματα συντεταγμένων.

Σε ένα αεροπλάνο είναι δυνατό να προσδιοριστεί πολικό σύστημα συντεταγμένων , το οποίο χρησιμοποιείται, ειδικότερα, στη μελέτη περιστροφικών κινήσεων.

Εικόνα 2.5. Πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Ας καθορίσουμε ένα σημείο στο επίπεδο και μια ημιευθεία που αναδύεται από αυτό, και επίσης να επιλέξουμε μια μονάδα κλίμακας (Εικόνα 2.5). Το σημείο λέγεται Πόλος , μισή γραμμή – πολικός άξονας . Ας αντιστοιχίσουμε δύο αριθμούς σε ένα αυθαίρετο σημείο:

– πολική ακτίνα , ίση με την απόσταση από το σημείο M στον πόλο O.

– πολική γωνία , ίση με τη γωνία μεταξύ του πολικού άξονα και της ημιευθείας.

Μετρημένη σε ακτίνια, η θετική κατεύθυνση των τιμών μετράται αριστερόστροφα, που συνήθως υποτίθεται.

Η πολική ακτίνα αντιστοιχεί στον πόλο· η πολική γωνία δεν ορίζεται γι' αυτόν.

Ας βρούμε τη σχέση μεταξύ ορθογώνιων και πολικών συντεταγμένων (Εικόνα 2.6).

Εικόνα 2.6. Σχέση ορθογώνιων και πολικών συστημάτων συντεταγμένων.

Θα θεωρήσουμε ότι η αρχή του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων είναι ο πόλος και η ακτίνα θα είναι ο πολικός άξονας. Έστω - σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και - σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων. Ας βρούμε τη σχέση μεταξύ ορθογώνιων και πολικών συντεταγμένων.

Από ορθογώνιο, και από ορθογώνιο. Έτσι, οι τύποι

εκφράζουν τις ορθογώνιες συντεταγμένες ενός σημείου ως προς τις πολικές συντεταγμένες του.

Η αντίστροφη σχέση εκφράζεται με τους τύπους

Σχόλιο.Η πολική γωνία μπορεί επίσης να προσδιοριστεί από τον τύπο, έχοντας προηγουμένως προσδιοριστεί από ορθογώνιες συντεταγμένες στο οποίο τεταρτημόριο βρίσκεται το σημείο.

Παράδειγμα 1.Να βρείτε τις πολικές συντεταγμένες ενός σημείου.

Λύση.Υπολογίζουμε ; Η πολική γωνία βρίσκεται από τις συνθήκες:

Επομένως, άρα.

Παράδειγμα 2.Να βρείτε τις ορθογώνιες συντεταγμένες του σημείου.

Λύση.Υπολογίζουμε

Παίρνουμε.

Στον τρισδιάστατο χώρο, εκτός από το ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, χρησιμοποιούνται συχνά κυλινδρικά και σφαιρικά συστήματα συντεταγμένων.

Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένωνείναι ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, στο οποίο προστίθεται ένας χωρικός άξονας κάθετος σε αυτό το επίπεδο (Εικόνα 2.7). Η θέση οποιουδήποτε σημείου χαρακτηρίζεται από τρεις αριθμούς - τις κυλινδρικές συντεταγμένες του: , όπου και είναι οι πολικές συντεταγμένες (πολική ακτίνα και πολική γωνία) της προβολής του σημείου στο επίπεδο στο οποίο επιλέγεται το πολικό σύστημα συντεταγμένων - η εφαρμογή, που ισούται με την απόσταση από το σημείο μέχρι το καθορισμένο επίπεδο.

Εικόνα 2.7. Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων

Για να καθορίσουμε τη σχέση μεταξύ του ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και του κυλινδρικού, τα τοποθετούμε σε σχέση μεταξύ τους όπως στο σχήμα 2.8 (τοποθετούμε το επίπεδο στο επίπεδο και ο πολικός άξονας συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα, τον άξονα είναι κοινό και στα δύο συστήματα συντεταγμένων).

Έστω οι ορθογώνιες συντεταγμένες του σημείου, οι κυλινδρικές συντεταγμένες αυτού του σημείου και η προβολή του σημείου στο επίπεδο. Επειτα

τύποι που συνδέουν ορθογώνιες και κυλινδρικές συντεταγμένες ενός σημείου.

Εικόνα 2.8. Η σχέση μεταξύ του ορθογώνιου καρτεσιανού

και κυλινδρικά συστήματα συντεταγμένων

Σχόλιο.Οι κυλινδρικές συντεταγμένες χρησιμοποιούνται συχνά όταν εξετάζουμε σώματα περιστροφής, με τον άξονα να βρίσκεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής.

Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένωνμπορεί να κατασκευαστεί ως εξής. Ας επιλέξουμε τον πολικό άξονα στο επίπεδο. Μέσα από το σημείο τραβάμε μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο (κανονική). Τότε οποιοδήποτε σημείο στο χώρο μπορεί να συσχετιστεί με τρεις πραγματικούς αριθμούς, όπου είναι η απόσταση από το σημείο έως, είναι η γωνία μεταξύ του άξονα και της προβολής του τμήματος στο επίπεδο και η γωνία μεταξύ του κανονικού και του τμήματος. Σημειώσε ότι , , .

Εάν τοποθετήσουμε το επίπεδο στο επίπεδο και επιλέξουμε τον πολικό άξονα να συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα και επιλέξουμε τον άξονα ως κανονικό (Εικόνα 2.9), λαμβάνουμε τύπους που συνδέουν αυτά τα δύο συστήματα συντεταγμένων

Εικόνα 2.9. Σχέση μεταξύ σφαιρικού και ορθογωνίου καρτεσιανού

συστήματα συντεταγμένων

Κλιμακές ποσότητες,ή βαθμωτών χαρακτηρίζονται πλήρως από την αριθμητική τους αξία στο επιλεγμένο σύστημα μονάδων. Διανυσματικές ποσότητες ή διανύσματα εκτός από την αριθμητική τους τιμή έχουν και διεύθυνση. Για παράδειγμα, αν πούμε ότι ο άνεμος φυσά με ταχύτητα 10 m/sec, τότε θα εισαγάγουμε μια κλιμακωτή τιμή της ταχύτητας του ανέμου, αλλά αν πούμε ότι ο νοτιοδυτικός άνεμος φυσά με ταχύτητα 10 m/sec, τότε σε αυτή την περίπτωση η ταχύτητα του ανέμου θα είναι ήδη διάνυσμα.

Διάνυσμαονομάζεται κατευθυνόμενο τμήμα που έχει ορισμένο μήκος, δηλ. ένα τμήμα συγκεκριμένου μήκους, στο οποίο ένα από τα περιοριστικά σημεία λαμβάνεται ως αρχή και το δεύτερο ως τέλος. Θα συμβολίσουμε το διάνυσμα είτε είτε (Εικόνα 2.10).

Το μήκος ενός διανύσματος συμβολίζεται με το σύμβολο ή και ονομάζεται συντελεστής του διανύσματος. Ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι 1 ονομάζεται μονόκλινο . Το διάνυσμα ονομάζεται μηδέν , αν η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν και συμβολίζεται με θ ή . Το μηδενικό διάνυσμα δεν έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση και έχει μήκος ίσο με μηδέν. Τα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες ονομάζονται συγγραμμική . Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσος , αν είναι συγγραμμικά, έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση. Όλα τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα.

Δύο συγγραμμικά διανύσματα, διαφορετικά από το μηδέν, με ίσα μεγέθη, αλλά αντίθετες κατευθύνσεις, ονομάζονται απεναντι απο . Το αντίθετο διάνυσμα συμβολίζεται με , για το αντίθετο διάνυσμα.

Στον αριθμό γραμμικές πράξεις τα over vectors περιλαμβάνουν τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης των διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό, δηλ. πράξεις των οποίων το αποτέλεσμα είναι διάνυσμα.

Ας ορίσουμε τις υποδεικνυόμενες πράξεις στα διανύσματα. Έστω δύο διανύσματα και δίνονται. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο Ο και ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα και ας σχεδιάσουμε το διάνυσμα από το σημείο Α. Τότε καλείται το διάνυσμα που συνδέει την αρχή του πρώτου όρου του διανύσματος με το τέλος του δεύτερου ποσό αυτά τα διανύσματα συμβολίζονται με . Ο θεωρούμενος κανόνας για την εύρεση του αθροίσματος των διανυσμάτων ονομάζεται κανόνες τριγώνου (Εικόνα 2.11).

Το ίδιο άθροισμα διανυσμάτων μπορεί να ληφθεί με άλλο τρόπο (Εικόνα 2.12). Ας σχεδιάσουμε το διάνυσμα και το διάνυσμα από το σημείο. Ας κατασκευάσουμε ένα παραλληλόγραμμο σε αυτά τα διανύσματα όπως και στις πλευρές. Το διάνυσμα, το οποίο είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που προέρχεται από την κορυφή, θα είναι το άθροισμα. Αυτός ο κανόνας για την εύρεση του αθροίσματος ονομάζεται κανόνες παραλληλογράμμου .

Το άθροισμα οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα της διακεκομμένης γραμμής (Εικόνα 2.13). Από ένα αυθαίρετο σημείο σχεδιάζουμε ένα διάνυσμα, μετά σχεδιάζουμε ένα διάνυσμα κ.λπ. Το διάνυσμα που συνδέει την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευταίου είναι το άθροισμα

διανύσματα δεδομένων, δηλ. . Προφανώς, αν το τέλος του τελευταίου όρου του διανύσματος συμπίπτει με την αρχή του πρώτου, τότε το άθροισμα των διανυσμάτων είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα.

Με διαφορά δύο διανύσματα και ονομάζεται τέτοιο διάνυσμα, το άθροισμα του οποίου με το αφαιρούμενο διάνυσμα δίνει το διάνυσμα. Από εδώ κανόνας για την κατασκευή ενός διανύσματος διαφοράς(Εικόνα 2.14). Από το σημείο σχεδιάζουμε το διάνυσμα και το διάνυσμα . Το διάνυσμα που συνδέει τα άκρα του διανύσματος δευτερεύοντος και του διανύσματος υποκατηγορίας και κατευθύνεται από το διάνυσμα υποκατηγορίας στο διάνυσμα του δευτερεύοντος είναι η διαφορά.

Προϊόν ενός φορέαγιατί ένας πραγματικός αριθμός λ είναι ένα διάνυσμα που είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα και έχει μήκος και την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα if , και την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα αν .

Μπήκε γραμμικές πράξεις πάνω από διανύσματα έχουν ιδιότητες :

10 . Ανταλλαγή της πρόσθεσης: .

20 . Συσχετισμός προσθήκης: .

τριάντα. Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου με προσθήκη: .

4 0 . Ύπαρξη του αντίθετου στοιχείου με πρόσθεση:

50 . Κατανομή πολλαπλασιασμού με αριθμό σε σχέση με πρόσθεση διανυσμάτων: .

6 0 . Κατανομή πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με το άθροισμα δύο αριθμών:

7 0 . Η ιδιότητα συσχέτισης σχετικά με τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με ένα γινόμενο αριθμών: .

Ας δοθεί ένα σύστημα διανυσμάτων:

Λέγεται η έκφραση όπου λ i (i = 1,2,…, n) είναι κάποιοι αριθμοί γραμμικός συνδυασμός συστήματα διανυσμάτων (2.1). Το σύστημα των διανυσμάτων (2.1) ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη , αν ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι ίσος με μηδέν, με την προϋπόθεση ότι δεν είναι ίσοι με μηδέν όλοι οι αριθμοί λ 1, λ 2, ..., λ n. Το σύστημα των διανυσμάτων (2.1) ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη , αν ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι ίσος με μηδέν μόνο αν όλοι οι αριθμοί λ i = 0 (). Μπορούμε να δώσουμε έναν άλλο ορισμό της γραμμικής εξάρτησης των διανυσμάτων. Το σύστημα των διανυσμάτων (2.1) ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη , εάν κάποιο διάνυσμα αυτού του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα, διαφορετικά το σύστημα των διανυσμάτων (2.1) γραμμικά ανεξάρτητη .

Για διανύσματα που βρίσκονται στο επίπεδο, οι ακόλουθες προτάσεις είναι αληθείς.

10 . Οποιαδήποτε τρία διανύσματα σε ένα επίπεδο εξαρτώνται γραμμικά.

20 . Εάν ο αριθμός αυτών των διανυσμάτων στο επίπεδο είναι μεγαλύτερος από τρία, τότε εξαρτώνται επίσης γραμμικά.

τριάντα. Για να είναι δύο διανύσματα σε ένα επίπεδο γραμμικά ανεξάρτητα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι μη συγγραμμικά.

Έτσι, ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στο επίπεδο είναι δύο.

Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδη , εάν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή είναι παράλληλα στο ίδιο επίπεδο. Οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν για διανύσματα χώρου.

10 . Κάθε τέσσερα διανύσματα του χώρου εξαρτώνται γραμμικά.

20 . Εάν ο αριθμός αυτών των διανυσμάτων στο χώρο είναι μεγαλύτερος από τέσσερα, τότε εξαρτώνται επίσης γραμμικά.

τριάντα. Για να είναι τρία διανύσματα γραμμικά ανεξάρτητα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι μη ομοεπίπεδα.

Έτσι, ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στο χώρο είναι τρία.

Οποιοδήποτε μέγιστο υποσύστημα γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων μέσω του οποίου εκφράζεται οποιοδήποτε διάνυσμα αυτού του συστήματος ονομάζεται βάση αυτός που εξετάζεται διανυσματικά συστήματα . Είναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι η βάση στο επίπεδο αποτελείται από δύο μη συγγραμμικά διανύσματα και η βάση στο χώρο αποτελείται από τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα. Ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης ονομάζεται τάξη διανυσματικά συστήματα. Οι συντελεστές επέκτασης ενός διανύσματος σε διανύσματα βάσης ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένες σε αυτή τη βάση.

Έστω τα διανύσματα να σχηματίσουν μια βάση και έστω , τότε οι αριθμοί λ 1, λ 2, λ 3 είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος στη βάση.Σε αυτή την περίπτωση, γράψτε Μπορεί να αποδειχθεί ότι η αποσύνθεση του διανύσματος στη βάση είναι μοναδική . Η κύρια έννοια της βάσης είναι ότι οι γραμμικές πράξεις σε διανύσματα γίνονται συνηθισμένες γραμμικές πράξεις σε αριθμούς - οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των γραμμικών πράξεων σε διανύσματα, μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα. Όταν προστίθενται δύο διανύσματα, προστίθενται οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους. Όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, όλες οι συντεταγμένες του πολλαπλασιάζονται με αυτόν τον αριθμό.

Έτσι, αν και , τότε , πού , και πού , λ είναι ένας ορισμένος αριθμός.

Τυπικά, το σύνολο όλων των διανυσμάτων στο επίπεδο, ανάγεται σε μια κοινή αρχή, με εισαγόμενες γραμμικές πράξεις, συμβολίζεται με V 2 και το σύνολο όλων των διανυσμάτων στο χώρο, ανάγεται σε μια κοινή αρχή, συμβολίζεται με V 3. Τα σύνολα V 2 και V 3 ονομάζονται χώρους γεωμετρικών διανυσμάτων.

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτωνκαι ονομάζεται η μικρότερη γωνία () με την οποία ένα από τα διανύσματα πρέπει να περιστραφεί μέχρι να συμπέσει με το δεύτερο αφού φέρουμε αυτά τα διανύσματα σε μια κοινή αρχή.

Προϊόν με τελείεςδύο διανύσματα είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο των συντελεστών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας. Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων και συμβολίζεται με , ή

Αν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και είναι ίση με , τότε

Από γεωμετρική άποψη, το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο του συντελεστή ενός διανύσματος και της προβολής ενός άλλου διανύσματος σε αυτό. Από την ισότητα (2.2) προκύπτει ότι

Από εδώ συνθήκη ορθογωνικότητας δύο διανυσμάτων: δύο διανύσματαΚαι είναι ορθογώνιες αν και μόνο αν το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν, δηλ. .

Το γινόμενο με τελείες των διανυσμάτων δεν είναι γραμμική πράξη γιατί το αποτέλεσμά του είναι ένας αριθμός, όχι ένα διάνυσμα.

Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος.

1º. – ανταλλαξιμότητα.

2º. – διανομή.

3º. – συσχετισμός σε σχέση με έναν αριθμητικό παράγοντα.

4º. - ιδιότητα βαθμωτού τετραγώνου.

Από την ιδιότητα 4º ακολουθεί ο ορισμός διανυσματικό μήκος :

Ας δοθεί μια βάση στον χώρο V 3, όπου τα διανύσματα είναι μοναδιαία διανύσματα (λέγονται μοναδιαία διανύσματα), η κατεύθυνση καθενός από αυτά συμπίπτει με τη θετική φορά των αξόνων συντεταγμένων Ox, Oy, Oz της ορθογώνιας καρτεσιανής συντεταγμένης Σύστημα.

Ας επεκτείνουμε το διάνυσμα χώρου V 3 σύμφωνα με αυτή τη βάση (Εικόνα 2.15):

Τα διανύσματα ονομάζονται διανυσματικά στοιχεία κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων, ή συνιστώσες, αριθμοί a x , a y , a z– ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες του διανύσματος ΕΝΑ. Η κατεύθυνση του διανύσματος καθορίζεται από τις γωνίες α, β, γ που σχηματίζει με τις γραμμές συντεταγμένων. Το συνημίτονο αυτών των γωνιών ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης. Στη συνέχεια τα συνημίτονα κατεύθυνσης καθορίζονται από τους τύπους:

Είναι εύκολο να το δείξεις αυτό

Ας εκφράσουμε το βαθμωτό γινόμενο σε συντεταγμένη μορφή.

Ας είναι. Πολλαπλασιάζοντας αυτά τα διανύσματα ως πολυώνυμα και λαμβάνοντας υπόψη ότι παίρνουμε μια έκφραση για εύρεση τελεία γινόμενο σε μορφή συντεταγμένων:

εκείνοι. το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων ισούται με το άθροισμα των ζευγαρωμένων γινομένων συντεταγμένων με το ίδιο όνομα.

Από τις (2.6) και (2.4) ακολουθεί ο τύπος εύρεσης διανυσματικό μήκος :

Από τις (2.6) και (2.7) παίρνουμε έναν τύπο για τον προσδιορισμό γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:

Ένα τριπλό διανυσμάτων ονομάζεται διατεταγμένο αν υποδεικνύεται ποιο από αυτά θεωρείται πρώτο, ποιο δεύτερο και ποιο τρίτο.

Διέταξε τρία διανύσματα που ονομάζεται σωστά , εάν αφού τα φέρουμε σε κοινή αρχή από το τέλος του τρίτου διανύσματος, η συντομότερη στροφή από το πρώτο στο δεύτερο διάνυσμα γίνεται αριστερόστροφα. Διαφορετικά, ονομάζεται το τριπλό των διανυσμάτων αριστερά . Για παράδειγμα, στο Σχήμα 2.15, τα διανύσματα , , σχηματίζουν τη δεξιά τριάδα διανυσμάτων και τα διανύσματα , , σχηματίζουν την αριστερή τριάδα διανυσμάτων.

Με παρόμοιο τρόπο, εισάγεται η έννοια των δεξιών και αριστερών συστημάτων συντεταγμένων στον τρισδιάστατο χώρο.

Διάνυσμα έργα τέχνηςδιάνυσμα ανά διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα (άλλος συμβολισμός) που:

1) έχει μήκος , όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και ;

2) κάθετα στα διανύσματα και (), δηλ. είναι κάθετη στο επίπεδο στο οποίο τα διανύσματα και ?

Εξ ορισμού, βρίσκουμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων μονάδας συντεταγμένων, , :

Αν , , τότε οι συντεταγμένες του διανυσματικού γινομένου ενός διανύσματος και ενός διανύσματος καθορίζονται από τον τύπο:

Από τον ορισμό προκύπτει γεωμετρική έννοια της διανυσματικής τέχνης : το μέγεθος του διανύσματος είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που χτίζεται στα διανύσματα και .

Ιδιότητες ενός διανυσματικού προϊόντος:

4 0 . , εάν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, ή ένα από αυτά τα διανύσματα είναι μηδέν.

Παράδειγμα 3.Το παραλληλόγραμμο είναι χτισμένο στα διανύσματα και , όπου , , . Υπολογίστε το μήκος των διαγωνίων αυτού του παραλληλογράμμου, τη γωνία μεταξύ των διαγωνίων και το εμβαδόν του παραλληλογράμμου.

Λύση.Η κατασκευή των διανυσμάτων και φαίνεται στο Σχήμα 2.16, η κατασκευή ενός παραλληλογράμμου σε αυτά τα διανύσματα φαίνεται στο Σχήμα 2.17.

Ας κάνουμε μια αναλυτική λύση σε αυτό το πρόβλημα. Ας εκφράσουμε τα διανύσματα που ορίζουν τις διαγώνιες του κατασκευασμένου παραλληλογράμμου μέσω των διανυσμάτων και , και στη συνέχεια μέσω και . Βρίσκουμε , . Στη συνέχεια, βρίσκουμε τα μήκη των διαγωνίων του παραλληλογράμμου ως τα μήκη των κατασκευασμένων διανυσμάτων

Η γωνία μεταξύ των διαγωνίων του παραλληλογράμμου συμβολίζεται με . Τότε από τον τύπο για το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων έχουμε:

Ως εκ τούτου, .

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος, υπολογίζουμε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου:

Δίνονται τρία διανύσματα , και . Ας φανταστούμε ότι το διάνυσμα πολλαπλασιάζεται διανυσματικά με και το διάνυσμα και το διάνυσμα που προκύπτει πολλαπλασιάζονται κλιμακωτά με το διάνυσμα, καθορίζοντας έτσι τον αριθμό. Ονομάζεται διανυσματικός-κλιμακωτός ή μικτή εργασία τρία διανύσματα και . Συμβολίζεται με ή.

Ας ανακαλύψουμε γεωμετρική έννοια του μικτού προϊόντος (Εικόνα 2.18). Αφήστε το , , να μην είναι ομοεπίπεδο. Ας οικοδομήσουμε ένα παραλληλεπίπεδο σε αυτά τα διανύσματα όπως στις ακμές. Το εγκάρσιο γινόμενο είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μέτρο είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου (βάση του παραλληλεπίπεδου), χτισμένο πάνω στα διανύσματα και κατευθύνεται κάθετα στο επίπεδο του παραλληλογράμμου.

Το γινόμενο τελείων (ίσο με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και της προβολής στο ). Το ύψος του κατασκευασμένου παραλληλεπιπέδου είναι η απόλυτη τιμή αυτής της προβολής. Συνεπώς, η απόλυτη τιμή του μικτού γινόμενου τριών διανυσμάτων είναι ίση με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που χτίζεται στα διανύσματα και, δηλ. .

Από εδώ, ο όγκος μιας τριγωνικής πυραμίδας που βασίζεται στα διανύσματα και υπολογίζεται από τον τύπο.

Ας σημειώσουμε μερικά ακόμα ιδιότητες ενός μικτού προϊόντος φορείς.

1 ο. Το πρόσημο του γινομένου είναι θετικό αν τα διανύσματα , , και σχηματίζουν ένα σύστημα με το ίδιο όνομα με το κύριο, και αρνητικό διαφορετικά.

Πραγματικά, το βαθμωτό γινόμενο είναι θετικό εάν η γωνία μεταξύ και είναι οξεία και αρνητικό εάν η γωνία είναι αμβλεία. Με οξεία γωνία μεταξύ και , τα διανύσματα και βρίσκονται στη μία πλευρά σε σχέση με τη βάση του παραλληλεπίπεδου και επομένως, από το τέλος του διανύσματος, η περιστροφή από το προς θα είναι ορατή με τον ίδιο τρόπο όπως από το τέλος του διάνυσμα, δηλ. προς θετική κατεύθυνση (αριστερόστροφα).

Σε αμβλεία γωνία, τόσο τα διανύσματα όσο και βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές σε σχέση με το επίπεδο του παραλληλογράμμου που βρίσκεται στη βάση του παραλληλεπίπεδου και επομένως, από το τέλος του διανύσματος, η περιστροφή από το προς είναι ορατή προς την αρνητική κατεύθυνση ( δεξιόστροφος).

2 o Ένα μικτό προϊόν δεν αλλάζει όταν οι συντελεστές του αναδιατάσσονται κυκλικά: .

3 o Όταν οποιαδήποτε δύο διανύσματα αναδιατάσσονται, το μικτό γινόμενο αλλάζει μόνο το πρόσημο. Για παράδειγμα, , . , . - άγνωστα συστήματα.

Σύστημα(3.1) καλείται ομοιογενής , εάν όλα τα μέλη είναι ελεύθερα . Σύστημα (3.1) καλείται ετερογενής , εάν τουλάχιστον ένα από τα ελεύθερα μέλη .

Λύση συστήματοςονομάζεται σύνολο αριθμών, όταν αντικαθιστώνται στις εξισώσεις του συστήματος αντί για τους αντίστοιχους αγνώστους, κάθε εξίσωση του συστήματος μετατρέπεται σε ταυτότητα. Ένα σύστημα που δεν έχει λύση ονομάζεται ασύμβατες, ή αμφιλεγόμενος . Ένα σύστημα που έχει τουλάχιστον μία λύση ονομάζεται άρθρωση .

Το σύστημα άρθρωσης ονομάζεται βέβαιος , εάν έχει μοναδική λύση. Εάν ένα συνεπές σύστημα έχει περισσότερες από μία λύσεις, τότε καλείται αβέβαιος . Ένα ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, αφού έχει τουλάχιστον μηδενική λύση. Μια έκφραση για τα άγνωστα από τα οποία μπορεί να ληφθεί οποιαδήποτε συγκεκριμένη λύση του συστήματος ονομάζεται γενική απόφαση , και κάθε συγκεκριμένη λύση του συστήματος είναι δική του ιδιωτική λύση . Δύο συστήματα με τα ίδια άγνωστα ισοδύναμος (ισοδύναμος ), εάν κάθε λύση ενός από αυτά είναι λύση του άλλου ή και τα δύο συστήματα είναι ασυνεπή.

Ας εξετάσουμε μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.

Μία από τις κύριες μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι Μέθοδος Gauss, ή διαδοχική μέθοδος αποκλεισμός αγνώστων. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι να αναχθεί ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων σε μια σταδιακή μορφή. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πραγματοποιηθούν οι ακόλουθες εξισώσεις: στοιχειώδεις μεταμορφώσεις :

1. Αναδιάταξη των εξισώσεων του συστήματος.

2. Προσθήκη άλλης εξίσωσης σε μία εξίσωση.

3. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.

Ως αποτέλεσμα, το σύστημα θα λάβει τη μορφή:

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία περαιτέρω, εξαλείφουμε το άγνωστο από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από την τρίτη. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση με αριθμούς και προσθέστε την 3η, ..., στην -η εξίσωση του συστήματος. Τα ακόλουθα βήματα της μεθόδου Gauss εκτελούνται με παρόμοιο τρόπο. Εάν ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών λάβουμε μια πανομοιότυπη εξίσωση, τότε τη διαγράφουμε από το σύστημα. Εάν σε κάποιο βήμα της μεθόδου Gauss προκύπτει μια εξίσωση της μορφής:

τότε το υπό εξέταση σύστημα είναι ασυνεπές και παύει η περαιτέρω επίλυσή του. Εάν μια εξίσωση της μορφής (3.2) δεν συναντάται κατά την εκτέλεση στοιχειωδών μετασχηματισμών, τότε σε όχι περισσότερα από - βήματα το σύστημα (3.1) θα μετατραπεί σε μια σταδιακή μορφή:

Για να αποκτήσετε μια συγκεκριμένη λύση του συστήματος, θα χρειαστεί να αντιστοιχίσετε συγκεκριμένες τιμές στις ελεύθερες μεταβλητές στο (3.4).

Σημειώστε ότι εφόσον στη μέθοδο Gauss όλοι οι μετασχηματισμοί εκτελούνται στους συντελεστές άγνωστων εξισώσεων και ελεύθερων όρων, στην πράξη αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται συνήθως σε έναν πίνακα που αποτελείται από συντελεστές αγνώστων και μια στήλη ελεύθερων όρων. Αυτός ο πίνακας ονομάζεται εκτεταμένος. Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, αυτός ο πίνακας μειώνεται σε μια σταδιακή μορφή. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον προκύπτοντα πίνακα, το σύστημα ανακατασκευάζεται και όλοι οι προηγούμενοι συλλογισμοί εφαρμόζονται σε αυτό.

Παράδειγμα 1.Λύστε το σύστημα:

Λύση.Δημιουργούμε έναν εκτεταμένο πίνακα και τον μειώνουμε σε μια σταδιακή μορφή:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με και η τρίτη γραμμή διαγράφηκε.

Χρησιμοποιώντας συντεταγμένες, προσδιορίζεται η θέση ενός αντικειμένου στη σφαίρα. Οι συντεταγμένες υποδεικνύονται με γεωγραφικό πλάτος και γεωγραφικό μήκος. Τα γεωγραφικά πλάτη μετρώνται από τη γραμμή του ισημερινού και στις δύο πλευρές. Στο βόρειο ημισφαίριο τα γεωγραφικά πλάτη είναι θετικά, στο νότιο ημισφαίριο είναι αρνητικά. Το γεωγραφικό μήκος μετράται από τον πρώτο μεσημβρινό είτε ανατολικά είτε δυτικά, αντίστοιχα, προκύπτει είτε ανατολικό είτε δυτικό γεωγραφικό μήκος.

Σύμφωνα με τη γενικά αποδεκτή θέση, ο πρώτος μεσημβρινός θεωρείται αυτός που διέρχεται από το παλιό Αστεροσκοπείο Γκρίνουιτς στο Γκρίνουιτς. Οι γεωγραφικές συντεταγμένες της τοποθεσίας μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας έναν πλοηγό GPS. Αυτή η συσκευή λαμβάνει σήματα δορυφορικού συστήματος εντοπισμού θέσης στο σύστημα συντεταγμένων WGS-84, ομοιόμορφο για όλο τον κόσμο.

Τα μοντέλα Navigator διαφέρουν ως προς τον κατασκευαστή, τη λειτουργικότητα και τη διεπαφή. Επί του παρόντος, ενσωματωμένοι πλοηγοί GPS είναι επίσης διαθέσιμοι σε ορισμένα μοντέλα κινητών τηλεφώνων. Αλλά οποιοδήποτε μοντέλο μπορεί να καταγράψει και να αποθηκεύσει τις συντεταγμένες ενός σημείου.

Απόσταση μεταξύ συντεταγμένων GPS

Για την επίλυση πρακτικών και θεωρητικών προβλημάτων σε ορισμένες βιομηχανίες, είναι απαραίτητο να μπορούμε να προσδιορίζουμε τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων από τις συντεταγμένες τους. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορείτε να το κάνετε αυτό. Η κανονική μορφή αναπαράστασης γεωγραφικών συντεταγμένων: μοίρες, λεπτά, δευτερόλεπτα.

Για παράδειγμα, μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση μεταξύ των ακόλουθων συντεταγμένων: σημείο Νο. 1 - γεωγραφικό πλάτος 55°45′07″ Β, γεωγραφικό μήκος 37°36′56″ Α. σημείο Νο. 2 - γεωγραφικό πλάτος 58°00′02″ Β, γεωγραφικό μήκος 102°39′42″ Α.

Ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή για να υπολογίσετε το μήκος μεταξύ δύο σημείων. Στη μηχανή αναζήτησης του προγράμματος περιήγησης, πρέπει να ορίσετε τις ακόλουθες παραμέτρους αναζήτησης: online - για να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δύο συντεταγμένων. Στην ηλεκτρονική αριθμομηχανή, οι τιμές γεωγραφικού πλάτους και μήκους εισάγονται στα πεδία ερωτήματος για την πρώτη και τη δεύτερη συντεταγμένη. Κατά τον υπολογισμό, η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έδωσε το αποτέλεσμα - 3.800.619 m.

Η επόμενη μέθοδος είναι πιο εντατική, αλλά και πιο οπτική. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε διαθέσιμο πρόγραμμα χαρτογράφησης ή πλοήγησης. Τα προγράμματα στα οποία μπορείτε να δημιουργήσετε σημεία χρησιμοποιώντας συντεταγμένες και να μετρήσετε τις αποστάσεις μεταξύ τους περιλαμβάνουν τις ακόλουθες εφαρμογές: BaseCamp (ένα σύγχρονο ανάλογο του προγράμματος MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Όλα τα παραπάνω προγράμματα είναι διαθέσιμα σε οποιονδήποτε χρήστη του δικτύου. Για παράδειγμα, για να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δύο συντεταγμένων στο Google Earth, πρέπει να δημιουργήσετε δύο ετικέτες που να δείχνουν τις συντεταγμένες του πρώτου σημείου και του δεύτερου σημείου. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το εργαλείο "Χάρακας", πρέπει να συνδέσετε το πρώτο και το δεύτερο σημάδι με μια γραμμή, το πρόγραμμα θα εμφανίσει αυτόματα το αποτέλεσμα της μέτρησης και θα δείξει τη διαδρομή στη δορυφορική εικόνα της Γης.

Στην περίπτωση του παραδείγματος που δόθηκε παραπάνω, το πρόγραμμα Google Earth επέστρεψε το αποτέλεσμα - το μήκος της απόστασης μεταξύ του σημείου Νο. 1 και του σημείου Νο. 2 είναι 3.817.353 μέτρα.

Γιατί υπάρχει σφάλμα κατά τον προσδιορισμό της απόστασης

Όλοι οι υπολογισμοί της έκτασης μεταξύ των συντεταγμένων βασίζονται στον υπολογισμό του μήκους του τόξου. Η ακτίνα της Γης εμπλέκεται στον υπολογισμό του μήκους του τόξου. Επειδή όμως το σχήμα της Γης είναι κοντά σε ένα λοξό ελλειψοειδές, η ακτίνα της Γης ποικίλλει σε ορισμένα σημεία. Για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ των συντεταγμένων, λαμβάνεται η μέση τιμή της ακτίνας της Γης, η οποία δίνει σφάλμα στη μέτρηση. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση που μετράται, τόσο μεγαλύτερο είναι το σφάλμα.