Určení vzdálenosti mezi body. Vzdálenost mezi dvěma body v rovině

Vzdálenost mezi dvěma body v rovině.
Souřadnicové systémy

Každý bod A roviny je charakterizován svými souřadnicemi (x, y). Shodují se se souřadnicemi vektoru 0A vycházejícího z bodu 0 - počátku souřadnic.

Nechť A a B jsou libovolné body roviny se souřadnicemi (x 1 y 1) a (x 2, y 2).

Pak má vektor AB zjevně souřadnice (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Je známo, že druhá mocnina délky vektoru se rovná součtu čtverců jeho souřadnic. Z podmínky se tedy určí vzdálenost d mezi body A a B, nebo, co je shodné, délka vektoru AB

d2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Výsledný vzorec umožňuje najít vzdálenost mezi libovolnými dvěma body v rovině, pokud jsou známy pouze souřadnice těchto bodů

Pokaždé, když mluvíme o souřadnicích určitého bodu v rovině, máme na mysli dobře definovaný souřadnicový systém x0y. Obecně lze souřadný systém v rovině zvolit různými způsoby. Takže místo souřadnicového systému x0y můžete uvažovat souřadnicový systém x"0y", který se získá otočením starých souřadnicových os kolem počátečního bodu 0 proti směru hodinových ručičekšipky na rohu α .

Pokud měl určitý bod roviny v souřadnicovém systému x0y souřadnice (x, y), pak v novém souřadném systému x"0y" bude mít jiné souřadnice (x, y").

Jako příklad uvažujme bod M, který se nachází na ose 0x a je oddělený od bodu 0 ve vzdálenosti 1.

Je zřejmé, že v souřadnicovém systému x0y má tento bod souřadnice (cos α ,hřích α ), a v souřadnicovém systému x"0y" jsou souřadnice (1,0).

Souřadnice libovolných dvou bodů v rovině A a B závisí na tom, jak je v této rovině zadán souřadnicový systém. Ale vzdálenost mezi těmito body nezávisí na způsobu určení souřadnicového systému. Této důležité okolnosti významně využijeme v dalším odstavci.

Cvičení

I. Najděte vzdálenosti mezi body roviny se souřadnicemi:

1) (3,5) a (3,4); 3) (0,5) a (5, 0); 5) (-3,4) a (9, -17);

2) (2, 1) a (-5, 1); 4) (0, 7) a (3, 3); 6) (8, 21) a (1, -3).

II. Najděte obvod trojúhelníku, jehož strany jsou dány rovnicemi:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 a y = 1.

III. V souřadnicovém systému x0y mají body M a N souřadnice (1, 0) a (0,1). Najděte souřadnice těchto bodů v novém souřadnicovém systému, který se získá otočením starých os kolem počátečního bodu o úhel 30° proti směru hodinových ručiček.

IV. V souřadnicovém systému x0y mají body M a N souřadnice (2, 0) a (\ / 3/2, - 1/2). Najděte souřadnice těchto bodů v novém souřadnicovém systému, který se získá otočením starých os kolem počátečního bodu o úhel 30° ve směru hodinových ručiček.

Zde bude kalkulačka

Vzdálenost mezi dvěma body na přímce

Uvažujme souřadnicovou čáru, na které jsou vyznačeny 2 body: A A A A B B B. Chcete-li zjistit vzdálenost mezi těmito body, musíte zjistit délku segmentu A B AB A B. To se provádí pomocí následujícího vzorce:

Vzdálenost mezi dvěma body na přímce

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a-b∣,

Kde a, b a, b a, b- souřadnice těchto bodů na přímce (souřadnicové čáře).

Vzhledem k tomu, že vzorec obsahuje modul, není při jeho řešení důležité, kterou souřadnici od které odečíst (jelikož se bere absolutní hodnota tohoto rozdílu).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a-b ∣ =∣ b −a∣

Podívejme se na příklad, abychom lépe porozuměli řešení takových problémů.

Příklad 1

Body jsou vyznačeny na souřadnicové čáře A A A, jehož souřadnice se rovná 9 9 9 a tečka B B B s koordinátem − 1 -1 − 1 . Musíme najít vzdálenost mezi těmito dvěma body.

Řešení

Tady a = 9, b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Použijeme vzorec a dosadíme hodnoty:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a-b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Odpovědět

Vzdálenost mezi dvěma body v rovině

Uvažujme dva body dané na rovině. Z každého bodu označeného v rovině musíte snížit dvě kolmice: K ose O X OX O X a na nápravě O Y OY OY. Pak se uvažuje trojúhelník A B C ABC A B C. Protože je obdélníkový ( B C BC PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM kolmý AC AC A C), pak najděte segment A B AB A B, což je také vzdálenost mezi body, lze provést pomocí Pythagorovy věty. My máme:

A B2 = AC2 + B C2AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Ale na základě skutečnosti, že délka AC AC A C rovná x B − x A x_B-x_A X B​ − X A​ a délka B C BC PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM rovná y B − y A y_B-y_A y B​ − y A​ , lze tento vzorec přepsat takto:

Vzdálenost mezi dvěma body v rovině

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(X B​ − X A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Kde x A , y A x_A, y_A X A​ , y A​ A x B, y B x_B, y_B X B​ , y B​ - souřadnice bodů A A A A B B B respektive.

Příklad 2

Je nutné najít vzdálenost mezi body C C C A F F F, pokud souřadnice prvního (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) a za druhé - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Řešení

Xc = 8 x_C=8 X C​ = 8
yC = -1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F = 4 X F​ = 4
yF = 2 y_F=2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25) = 5C F =(X F​ − X C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Odpovědět

Vzdálenost mezi dvěma body v prostoru

Zjištění vzdálenosti mezi dvěma body je v tomto případě obdobné jako v předchozím s tím rozdílem, že souřadnice bodu v prostoru jsou určeny třemi čísly, podle toho je třeba do vzorce přidat i souřadnice osy aplikace. Vzorec bude vypadat takto:

Vzdálenost mezi dvěma body v prostoru

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(X B​ − X A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Příklad 3

Najděte délku segmentu FK FKFK v prostoru, pokud souřadnice bodů na jeho koncích jsou následující: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) A (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Zaokrouhlete odpověď na nejbližší celé číslo.

Řešení

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K\; =\; (-3;\; 6;\; 0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(X^{K-X^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Podle podmínek úlohy potřebujeme zaokrouhlit odpověď na celé číslo.

Přednáška: Vzorec pro vzdálenost mezi dvěma body; rovnice koule

Vzdálenost mezi dvěma body

Pro zjištění vzdálenosti mezi dvěma body na přímce v předchozí otázce jsme použili vzorec d = x 2 – x 1.

Ale pokud jde o letadlo, věci jsou jiné. Nestačí jednoduše najít rozdíl v souřadnicích. Chcete-li zjistit vzdálenost mezi body pomocí jejich souřadnic, použijte následující vzorec:

Pokud máte například dva body s určitými souřadnicemi, můžete vzdálenost mezi nimi zjistit následovně:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

To znamená, že pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma body v rovině je nutné najít kořen součtu druhých mocnin souřadnicových rozdílů.

Pokud potřebujete zjistit vzdálenost mezi dvěma body v rovině, měli byste použít podobný vzorec s další souřadnicí:

Kulová rovnice

Chcete-li definovat kouli v prostoru, musíte znát souřadnice jejího středu a také její poloměr, abyste mohli použít následující vzorec:

Tato rovnice odpovídá kouli, jejíž střed je v počátku.

Pokud je střed koule posunut o určitý počet jednotek podél os, pak by měl být použit následující vzorec.

Necháme , (obrázek 2.3). Nutné najít.

Obrázek 2.3. Vzdálenost mezi dvěma body.

Z pravoúhlého podle Pythagorovy věty máme

to znamená,

Tento vzorec je platný pro jakékoli umístění bodů a .

II. Rozdělení segmentu v tomto ohledu:

Nechte,. Je potřeba najít , ležící na segmentu a jeho rozdělení v daném poměru (obrázek 2.4.).

Obrázek 2.4. Rozdělení segmentu v tomto ohledu.

Z podobnosti ~, tedy odkud. Rovněž.

Tím pádem,

– vzorec pro rozdělení segmentu ve vztahu k .

Pokud, pak

– souřadnice středu segmentu.

Komentář. Odvozené vzorce lze zobecnit na případ prostorového pravoúhlého kartézského souřadnicového systému. Nechte body, . Pak

- vzorec pro zjištění vzdálenosti mezi body a .

Vzorec pro dělení segmentu ve vztahu.

Kromě kartézských lze v rovině a v prostoru sestrojit velké množství dalších souřadnicových systémů, tedy způsobů, jak charakterizovat polohu bodu v rovině nebo v prostoru pomocí dvou nebo tří číselných parametrů (souřadnic). Podívejme se na některé ze stávajících souřadnicových systémů.

Na rovině je možné určit polární souřadnicový systém , který se využívá zejména při studiu rotačních pohybů.

Obrázek 2.5. Polární souřadnicový systém.

Zafixujme bod na rovině a z ní vycházející polopřímku a také zvolíme jednotku měřítka (obrázek 2.5). Bod se nazývá pól , půlřádka – polární osa . Přiřaďme dvě čísla libovolnému bodu:

– polární poloměr , rovna vzdálenosti od bodu M k pólu O;

– polární úhel , rovný úhlu mezi polární osou a polopřímkou.

Měřeno v radiánech, kladný směr hodnot se počítá od proti směru hodinových ručiček, obvykle se předpokládá.

Polární poloměr odpovídá pólu, polární úhel pro něj není definován.

Nalezneme vztah mezi pravoúhlými a polárními souřadnicemi (obrázek 2.6).

Obrázek 2.6. Vztah mezi pravoúhlými a polárními souřadnicovými systémy.

Počátek pravoúhlého souřadnicového systému budeme považovat za pól a paprsek budeme považovat za polární osu. Nechť - v pravoúhlém kartézském souřadnicovém systému a - v polárním souřadnicovém systému. Pojďme najít vztah mezi pravoúhlými a polárními souřadnicemi.

Od obdélníkového a od obdélníkového. Tedy vzorce

vyjádřit pravoúhlé souřadnice bodu pomocí jeho polárních souřadnic.

Inverzní vztah je vyjádřen pomocí vzorců

Komentář. Polární úhel lze také určit ze vzorce, když jsme předtím určili z pravoúhlých souřadnic, ve kterém kvadrantu bod leží.

Příklad 1. Najděte polární souřadnice bodu.

Řešení. Počítáme; Polární úhel se zjistí z podmínek:

Proto, tedy.

Příklad 2 Najděte pravoúhlé souřadnice bodu.

Řešení. Počítáme

Dostaneme.

V trojrozměrném prostoru se kromě pravoúhlého kartézského souřadnicového systému často používají válcové a kulové souřadnicové systémy.

Válcový souřadnicový systém je polární souřadnicový systém v rovině, ke kterému je přidána prostorová osa kolmá na tuto rovinu (obrázek 2.7). Poloha libovolného bodu je charakterizována třemi čísly - jeho válcovými souřadnicemi: , kde a jsou polární souřadnice (polární poloměr a polární úhel) průmětu bodu do roviny, ve které je zvolen polární souřadnicový systém - aplikace, která se rovná vzdálenosti od bodu k určené rovině.

Obrázek 2.7. Válcový souřadnicový systém

Abychom stanovili vztah mezi pravoúhlým kartézským souřadnicovým systémem a válcovým, umístíme je vůči sobě navzájem jako na obrázku 2.8 (rovinu umístíme do roviny a polární osa se shoduje s kladným směrem osy, osa je společná v obou souřadnicových systémech).

Nechť jsou pravoúhlé souřadnice bodu, cylindrické souřadnice tohoto bodu a buď průmět bodu do roviny. Pak

vzorce spojující pravoúhlé a válcové souřadnice bodu.

Obrázek 2.8. Vztah mezi pravoúhlým kartézským

a válcové souřadnicové systémy

Komentář. Při zvažování těles rotace se často používají válcové souřadnice, přičemž osa je umístěna podél osy rotace.

Sférický souřadnicový systém lze konstruovat následovně. Zvolme polární osu v rovině. Bodem vedeme přímku kolmou k rovině (normální). Potom může být libovolný bod v prostoru spojen se třemi reálnými čísly, kde je vzdálenost od bodu k, je úhel mezi osou a průmětem segmentu do roviny a je úhel mezi normálou a segmentem. Všimněte si, že , , .

Umístíme-li rovinu do roviny a zvolíme-li polární osu, aby se shodovala s kladným směrem osy, a osu vybereme jako normálu (obrázek 2.9), získáme vzorce spojující tyto dva souřadnicové systémy

Obrázek 2.9. Vztah mezi sférickým a pravoúhlým kartézským

souřadnicové systémy

Skalární veličiny, nebo skaláry jsou zcela charakterizovány svou číselnou hodnotou ve zvolené soustavě jednotek. Vektorové množství nebo vektory mají kromě své číselné hodnoty také směr. Řekneme-li například, že vítr fouká rychlostí 10 m/sec, tak zavedeme skalární hodnotu rychlosti větru, ale pokud řekneme, že jihozápadní vítr vane rychlostí 10 m/sec, tak zavedeme skalární hodnotu rychlosti větru. pak v tomto případě bude rychlost větru již vektorová.

Vektor nazývaný směrovaný segment mající určitou délku, tzn. segment určité délky, ve kterém je jeden z omezujících bodů považován za začátek a druhý za konec. Vektor označíme buď nebo (obrázek 2.10).

Délka vektoru se označuje symbolem nebo a nazývá se modul vektoru. Zavolá se vektor, jehož délka je 1 singl . Vektor se nazývá nula , pokud se jeho začátek a konec shodují a značí se θ nebo . Nulový vektor nemá žádný konkrétní směr a má délku rovnou nule. Nazývají se vektory umístěné na stejné nebo rovnoběžné přímce kolineární . Tyto dva vektory se nazývají rovnat se , pokud jsou kolineární, mají stejnou délku a stejný směr. Všechny nulové vektory jsou považovány za stejné.

Jsou volány dva kolineární vektory, odlišné od nuly, které mají stejné velikosti, ale opačné směry naproti . Vektor opačný je označen , pro opačný vektor.

K číslu lineární operace přes vektory zahrnují operace sčítání, odčítání vektorů a násobení vektoru číslem, tzn. operace, jejichž výsledkem je vektor.

Definujme naznačené operace s vektory. Nechť jsou dány dva vektory a. Vezměme libovolný bod O a sestrojíme vektor a vyneseme vektor z bodu A. Potom se zavolá vektor spojující začátek prvního členu vektoru s koncem druhého množství tyto vektory jsou označeny . Uvažované pravidlo pro nalezení součtu vektorů se nazývá pravidla trojúhelníku (Obrázek 2.11).

Stejný součet vektorů lze získat jiným způsobem (obrázek 2.12). Vyneseme vektor a vektor z bodu. Na těchto vektorech sestrojme rovnoběžník jako na stranách. Vektor, který je úhlopříčkou rovnoběžníku nakresleného z vrcholu, bude součet. Toto pravidlo pro nalezení součtu se nazývá pravidla rovnoběžníku .

Součet libovolného konečného počtu vektorů lze získat pomocí pravidla přerušované čáry (obrázek 2.13). Z libovolného bodu vyneseme vektor, pak vektor atd. Vektor spojující začátek prvního s koncem posledního je součet

datové vektory, tzn. . Je zřejmé, že pokud se konec posledního členu vektoru shoduje se začátkem prvního, pak se součet vektorů rovná nulovému vektoru.

Rozdílem dva vektory a nazývá se takový vektor, jehož součet s odečteným vektorem dává vektor. Odtud pravidlo pro konstrukci diferenčního vektoru(Obrázek 2.14). Z bodu vyneseme vektor a vektor . Vektor spojující konce minuendového vektoru a subtrahendového vektoru a směřující od subtrahendu k minuendovému vektoru je rozdíl.

Součin vektoru pro reálné číslo λ je vektor, který je kolineární s vektorem a má délku a stejný směr jako vektor if a směr opačný k vektoru if .

Zadáno lineární operace přes vektory mají vlastnosti :

10. Komutativnost sčítání: .

20. Sčítací asociativita: .

třicet . Existence neutrálního prvku přidáním: .

4 0 . Existence opačného prvku přidáním:

50 . Distributivita násobení číslem vzhledem k sčítání vektorů: .

60. Distributivita násobení vektoru součtem dvou čísel:

70. Vlastnost asociativnosti týkající se násobení vektoru součinem čísel: .

Nechť je dána soustava vektorů:

Výraz, kde λ i (i = 1,2,…, n) jsou nějaká čísla, se nazývá lineární kombinace systémy vektorů (2.1). Nazývá se soustava vektorů (2.1). lineárně závislé , je-li jejich lineární kombinace rovna nule, za předpokladu, že ne všechna čísla λ 1, λ 2, ..., λ n jsou rovna nule. Nazývá se soustava vektorů (2.1). lineárně nezávislý , je-li jejich lineární kombinace rovna nule pouze tehdy, jsou-li všechna čísla λ i = 0 (). Můžeme uvést další definici lineární závislosti vektorů. Nazývá se soustava vektorů (2.1). lineárně závislé , je-li kterýkoli vektor této soustavy lineárně vyjádřen ve vztahu k ostatním, jinak soustava vektorů (2.1) lineárně nezávislý .

Pro vektory ležící v rovině platí následující tvrzení.

10. Jakékoli tři vektory v rovině jsou lineárně závislé.

20. Pokud je počet těchto vektorů v rovině větší než tři, pak jsou také lineárně závislé.

třicet . Aby byly dva vektory v rovině lineárně nezávislé, je nutné a postačující, aby byly nekolineární.

Maximální počet lineárně nezávislých vektorů v rovině je tedy dva.

Vektory se nazývají koplanární , pokud leží ve stejné rovině nebo jsou rovnoběžné se stejnou rovinou. Následující tvrzení platí pro prostorové vektory.

10. Každé čtyři vektory prostoru jsou lineárně závislé.

20. Pokud je počet těchto vektorů v prostoru větší než čtyři, pak jsou také lineárně závislé.

třicet . Aby byly tři vektory lineárně nezávislé, je nutné a dostatečné, aby byly nekoplanární.

Maximální počet lineárně nezávislých vektorů v prostoru je tedy tři.

Volá se jakýkoli maximální subsystém lineárně nezávislých vektorů, prostřednictvím kterého je vyjádřen kterýkoli vektor tohoto systému základ ten zvažovaný vektorové systémy . Je snadné dojít k závěru, že základna v rovině se skládá ze dvou nekolineárních vektorů a základna v prostoru se skládá ze tří nekoplanárních vektorů. Nazývá se počet bázových vektorů hodnost vektorové systémy. Koeficienty rozšíření vektoru na základní vektory se nazývají vektorové souřadnice v tomto základu.

Nechť vektory tvoří bázi a nechť , pak jsou souřadnicemi vektoru v bázi čísla λ 1, λ 2, λ 3. V tomto případě napište Lze ukázat, že rozklad vektoru v bázi je jedinečný . Hlavním smyslem základu je, že lineární operace s vektory se stávají obyčejnými lineárními operacemi s čísly - souřadnicemi těchto vektorů. Pomocí vlastností lineárních operací s vektory můžeme dokázat následující větu.

Teorém. Když jsou přidány dva vektory, jsou přidány jejich odpovídající souřadnice. Když se vektor vynásobí číslem, všechny jeho souřadnice se vynásobí tímto číslem.

Tedy, jestliže a , pak , kde , a kde , λ je určité číslo.

Obvykle se množina všech vektorů v rovině, redukovaná na společný počátek, se zavedenými lineárními operacemi, označí V 2 a množina všech vektorů v prostoru redukovaná na společný počátek je označena V 3. Volají se množiny V 2 a V 3 prostory geometrických vektorů.

Úhel mezi vektory a nazývá se nejmenší úhel (), o který musí být jeden z vektorů otočen, dokud se neshoduje s druhým po přivedení těchto vektorů do společného počátku.

Tečkovaný produkt dva vektory je číslo rovné součinu modulů těchto vektorů a kosinu úhlu mezi nimi. Skalární součin vektorů a je označen , nebo

Pokud je úhel mezi vektory a roven , pak

Z geometrického hlediska je skalární součin vektorů roven součinu modulu jednoho vektoru a průmětu druhého vektoru na něj. Z rovnosti (2.2) vyplývá, že

Odtud podmínka ortogonality dvou vektorů: dva vektory A jsou ortogonální právě tehdy, když je jejich skalární součin roven nule, tj. .

Bodový součin vektorů není lineární operace, protože jejím výsledkem je číslo, nikoli vektor.

Vlastnosti skalárního součinu.

1º. – komutativnost.

2º. – distributivita.

3º. – asociativita s ohledem na číselný faktor.

4º. - vlastnost skalárního čtverce.

Z vlastnosti 4º vyplývá definice vektorová délka :

Nechť je dán základ v prostoru V 3, kde vektory jsou jednotkové vektory (říká se jim jednotkové vektory), směr každého z nich se shoduje s kladným směrem souřadnicových os Ox, Oy, Oz pravoúhlé kartézské souřadnice. Systém.

Rozšiřme prostorový vektor V 3 podle tohoto základu (obrázek 2.15):

Vektory se nazývají vektorové složky podél souřadnicových os nebo složky, čísla a x, ay, az– pravoúhlé kartézské souřadnice vektoru A. Směr vektoru je určen úhly α, β, γ, které svírá se souřadnicovými čarami. Kosinus těchto úhlů se nazývá směrový vektor. Pak jsou směrové kosiny určeny vzorcem:

Je snadné to ukázat

Vyjádřeme skalární součin v souřadnicovém tvaru.

Nech to být. Vynásobením těchto vektorů jako polynomů a zohledněním toho, že získáme výraz pro nalezení bodový součin ve tvaru souřadnic:

těch. skalární součin dvou vektorů je roven součtu párových součinů stejnojmenných souřadnic.

Z (2.6) a (2.4) vyplývá vzorec pro nalezení vektorová délka :

Z (2.6) a (2.7) získáme vzorec pro určení úhel mezi vektory:

Trojice vektorů se nazývá uspořádaná, pokud je uvedeno, který z nich je považován za první, který je považován za druhý a který je považován za třetí.

Objednáno tři vektory volal že jo , jestliže po jejich přivedení do společného počátku z konce třetího vektoru se nejkratší obrat z prvního na druhý vektor provede proti směru hodinových ručiček. Jinak se nazývá trojice vektorů vlevo, odjet . Například na obrázku 2.15 tvoří vektory , , pravou trojici vektorů a vektory , tvoří levou trojici vektorů.

Obdobným způsobem je zaveden koncept pravého a levého souřadnicového systému v trojrozměrném prostoru.

Vektorové kresby vektor po vektoru je vektor (jiný zápis), který:

1) má délku , kde je úhel mezi vektory a ;

2) kolmo na vektory a (), tzn. je kolmá k rovině, ve které jsou vektory a ;

Podle definice najdeme vektorový součin souřadnicových jednotek vectors , , :

Jestliže , , pak souřadnice vektorového součinu vektoru a vektoru jsou určeny vzorcem:

Z definice vyplývá geometrický význam vektorového umění : velikost vektoru se rovná ploše rovnoběžníku postaveného na vektorech a .

Vlastnosti vektorového produktu:

4 0 . , pokud jsou vektory a kolineární, nebo je jeden z těchto vektorů nulový.

Příklad 3 Rovnoběžník je postaven na vektorech a , kde , , . Vypočítejte délku úhlopříček tohoto rovnoběžníku, úhel mezi úhlopříčkami a plochou rovnoběžníku.

Řešení. Konstrukce vektorů a je znázorněna na obrázku 2.16, konstrukce rovnoběžníku na těchto vektorech je znázorněna na obrázku 2.17.

Pojďme provést analytické řešení tohoto problému. Vyjádřeme vektory definující úhlopříčky sestrojeného rovnoběžníku pomocí vektorů a , a poté prostřednictvím a . Shledáváme , . Dále najdeme délky úhlopříček rovnoběžníku jako délky sestrojených vektorů

Úhel mezi úhlopříčkami rovnoběžníku je označen . Pak ze vzorce pro skalární součin vektorů máme:

Proto, .

Pomocí vlastností vektorového produktu vypočítáme plochu rovnoběžníku:

Nechť jsou dány tři vektory , a ,. Představme si, že vektor se vektorově vynásobí a vektor a výsledný vektor se vynásobí skalárně vektorem, čímž se určí číslo. Říká se tomu vektor-skalární resp smíšená práce tři vektory a . Označuje se nebo.

Pojďme to zjistit geometrický význam smíšeného produktu (Obrázek 2.18). Nechť , , není koplanární. Postavme na těchto vektorech rovnoběžnostěn jako na hranách. Křížový produkt je vektor, jehož modul se rovná ploše rovnoběžníku (základna rovnoběžnostěnu), postavený na vektorech a je nasměrován kolmo k rovině rovnoběžníku.

Bodový součin (rovný součinu modulu vektoru a průmětu na ). Výška postaveného rovnoběžnostěnu je absolutní hodnotou tohoto průmětu. V důsledku toho se absolutní hodnota smíšeného součinu tří vektorů rovná objemu rovnoběžnostěnu postaveného na vektorech , tj. .

Odtud se objem trojúhelníkové pyramidy postavené na vektorech vypočítá podle vzorce.

Všimněme si ještě některých vlastnosti smíšeného produktu vektory.

1 o. Znaménko součinu je kladné, pokud vektory , , a tvoří systém stejného jména jako hlavní, a v opačném případě záporné.

Opravdu, skalární součin je kladný, pokud je úhel mezi a je ostrý, a záporný, je-li úhel tupý. S ostrým úhlem mezi a jsou vektory a umístěny na jedné straně vzhledem k základně kvádru, a proto od konce vektoru bude otočení od do viditelné stejným způsobem jako od konce kvádru. vektor, tzn. v kladném směru (proti směru hodinových ručiček).

V tupém úhlu jsou vektory i umístěny na různých stranách vzhledem k rovině rovnoběžníku ležícího na základně rovnoběžnostěnu, a proto je od konce vektoru vidět rotace od do v záporném směru ( ve směru hodinových ručiček).

2 o Smíšený produkt se nemění, když jsou jeho faktory kruhově přeskupeny: .

3 o Při přeuspořádání libovolných dvou vektorů změní smíšený součin pouze znaménko. Například, , . , . - neznámé systémy.

Systém(3.1) se nazývá homogenní , pokud jsou všichni členové volní . Systém (3.1) se nazývá heterogenní , pokud alespoň jeden z volných členů .

Systémové řešení se nazývá množina čísel, při jejich dosazení do rovnic soustavy místo odpovídajících neznámých se každá rovnice soustavy promění v identitu. Systém, který nemá řešení, se nazývá nekompatibilní, nebo kontroverzní . Zavolá se systém, který má alespoň jedno řešení kloub .

Kloubní systém je tzv určitý , pokud má jedinečné řešení. Pokud má konzistentní systém více než jedno řešení, pak se nazývá nejistý . Homogenní systém je vždy konzistentní, protože má alespoň nulové řešení. Zavolá se výraz pro neznámé, ze kterého lze získat jakékoli konkrétní řešení systému obecné rozhodnutí , a každé konkrétní řešení systému je jeho soukromé řešení . Dva systémy se stejnými neznámými ekvivalent (ekvivalent ), pokud každé řešení jednoho z nich je řešením druhého nebo jsou oba systémy nekonzistentní.

Uvažujme metody řešení soustav lineárních rovnic.

Jednou z hlavních metod řešení soustav lineárních rovnic je Gaussova metoda, nebo sekvenční metoda vyloučení neznámých. Podstatou této metody je redukce soustavy lineárních rovnic na stupňovitý tvar. V tomto případě je třeba provést následující rovnice: elementární transformace :

1. Přeuspořádání rovnic soustavy.

2. Přidání další rovnice k jedné rovnici.

3. Vynásobení obou stran rovnice číslem jiným než nula.

V důsledku toho bude mít systém podobu:

Pokračujeme-li v tomto procesu dále, odstraňujeme neznámou ze všech rovnic, počínaje třetí. Chcete-li to provést, vynásobte druhou rovnici čísly a přidejte ke 3., ..., až -té rovnici soustavy. Následující kroky Gaussovy metody se provádějí podobně. Pokud v důsledku transformací získáme shodnou rovnici, pak ji ze systému vymažeme. Pokud v některém kroku Gaussovy metody dostaneme rovnici tvaru:

pak je uvažovaný systém nekonzistentní a jeho další řešení zaniká. Pokud při provádění elementárních transformací nenarazíte na rovnici ve tvaru (3.2), pak v maximálně - krocích bude systém (3.1) převeden do stupňovitého tvaru:

Pro získání konkrétního řešení systému bude nutné přiřadit konkrétní hodnoty volným proměnným v (3.4).

Všimněte si, že protože v Gaussově metodě jsou všechny transformace prováděny na koeficientech neznámých rovnic a volných členů, v praxi se tato metoda obvykle aplikuje na matici složenou z koeficientů neznámých a sloupce volných členů. Tato matice se nazývá rozšířená. Pomocí elementárních transformací je tato matice redukována na stupňovitou formu. Poté je pomocí výsledné matice systém rekonstruován a jsou na něj aplikovány všechny předchozí úvahy.

Příklad 1. Vyřešte systém:

Řešení. Vytvoříme rozšířenou matici a zredukujeme ji na stupňovitou formu:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - druhý řádek byl vynásoben a třetí řádek byl proškrtnut.

Pomocí souřadnic se určí poloha objektu na zeměkouli. Souřadnice jsou označeny zeměpisnou šířkou a délkou. Zeměpisné šířky se měří od rovníku na obou stranách. Na severní polokouli jsou zeměpisné šířky kladné, na jižní polokouli záporné. Zeměpisná délka se měří od nultého poledníku buď na východ nebo na západ, získá se buď východní nebo západní délka.

Podle obecně uznávaného postoje se za nultý poledník považuje ten, který prochází starou Greenwichskou observatoří v Greenwichi. Zeměpisné souřadnice místa lze získat pomocí GPS navigátoru. Toto zařízení přijímá signály satelitního polohovacího systému v souřadnicovém systému WGS-84, jednotném pro celý svět.

Modely Navigator se liší výrobcem, funkčností a rozhraním. V současné době jsou v některých modelech mobilních telefonů k dispozici také vestavěné GPS navigace. Ale každý model může zaznamenat a uložit souřadnice bodu.

Vzdálenost mezi GPS souřadnicemi

Pro řešení praktických i teoretických problémů v některých odvětvích je nutné umět určit vzdálenosti mezi body jejich souřadnicemi. Můžete to udělat několika způsoby. Kanonická forma reprezentace zeměpisných souřadnic: stupně, minuty, sekundy.

Můžete například určit vzdálenost mezi následujícími souřadnicemi: bod č. 1 - zeměpisná šířka 55°45′07″ N, zeměpisná délka 37°36′56″ V; bod č. 2 - zeměpisná šířka 58°00′02″ s. š., zeměpisná délka 102°39′42″ vd.

Nejjednodušší způsob je pomocí kalkulačky vypočítat délku mezi dvěma body. Ve vyhledávači prohlížeče musíte nastavit následující parametry vyhledávání: online - pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma souřadnicemi. V online kalkulačce se hodnoty zeměpisné šířky a délky zadávají do polí dotazu pro první a druhou souřadnice. Při výpočtu online kalkulačka dala výsledek - 3 800 619 m.

Další metoda je pracnější, ale také vizuálnější. Musíte použít jakýkoli dostupný mapovací nebo navigační program. Mezi programy, ve kterých můžete vytvářet body pomocí souřadnic a měřit vzdálenosti mezi nimi, patří tyto aplikace: BaseCamp (moderní obdoba programu MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Všechny výše uvedené programy jsou dostupné všem uživatelům sítě. Chcete-li například vypočítat vzdálenost mezi dvěma souřadnicemi v aplikaci Google Earth, musíte vytvořit dva štítky označující souřadnice prvního a druhého bodu. Poté pomocí nástroje „Pravítko“ musíte propojit první a druhou značku čárou, program automaticky zobrazí výsledek měření a zobrazí cestu na satelitním snímku Země.

V případě výše uvedeného příkladu program Google Earth vrátil výsledek - délka vzdálenosti mezi bodem č. 1 a bodem č. 2 je 3 817 353 m.

Proč je chyba při určování vzdálenosti

Všechny výpočty rozsahu mezi souřadnicemi jsou založeny na výpočtu délky oblouku. Poloměr Země se podílí na výpočtu délky oblouku. Ale protože se tvar Země blíží zploštělému elipsoidu, poloměr Země se v určitých bodech mění. Pro výpočet vzdálenosti mezi souřadnicemi se bere průměrná hodnota poloměru Země, která dává chybu v měření. Čím větší je měřená vzdálenost, tím větší je chyba.