Nöqtələr arasındakı məsafənin müəyyən edilməsi. Təyyarənin iki nöqtəsi arasındakı məsafə

Bir müstəvidə iki nöqtə arasındakı məsafə.
Koordinat sistemləri

Müstəvinin hər bir A nöqtəsi onun koordinatları (x, y) ilə xarakterizə olunur. Onlar koordinatların başlanğıcı - 0 nöqtəsindən çıxan 0A vektorunun koordinatları ilə üst-üstə düşür.

A və B koordinatları (x 1 y 1) və (x 2, y 2) olan müstəvinin ixtiyari nöqtələri olsun.

Onda AB vektorunun açıq-aydın koordinatları var (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Məlumdur ki, vektorun uzunluğunun kvadratı onun koordinatlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir. Buna görə də A və B nöqtələri arasındakı d məsafəsi və ya eyni olan AB vektorunun uzunluğu şərtdən müəyyən edilir.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Alınan düstur, yalnız bu nöqtələrin koordinatları məlum olduqda, müstəvidə hər hansı iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmağa imkan verir.

Hər dəfə müstəvidə müəyyən bir nöqtənin koordinatları haqqında danışarkən biz dəqiq müəyyən edilmiş x0y koordinat sistemini nəzərdə tuturuq. Ümumiyyətlə, müstəvidə koordinat sistemi müxtəlif yollarla seçilə bilər. Beləliklə, x0y koordinat sistemi əvəzinə köhnə koordinat oxlarının başlanğıc nöqtəsi 0 ətrafında fırlanması ilə əldə edilən x"0y" koordinat sistemini nəzərdən keçirə bilərsiniz. saat yönünün əksinə küncdəki oxlar α .

Əgər x0y koordinat sistemində müstəvinin müəyyən nöqtəsinin koordinatları (x, y) idisə, yeni x"0y" koordinat sistemində onun müxtəlif koordinatları (x, y") olacaqdır.

Nümunə olaraq, 0x oxunda yerləşən və 0 nöqtəsindən 1 məsafədə ayrılmış M nöqtəsini nəzərdən keçirək.

Aydındır ki, x0y koordinat sistemində bu nöqtənin koordinatları (cos α ,günah α ), x"0y" koordinat sistemində isə koordinatlar (1,0) olur.

A və B müstəvisində hər hansı iki nöqtənin koordinatları bu müstəvidə koordinat sisteminin necə təyin olunduğundan asılıdır. Lakin bu nöqtələr arasındakı məsafə koordinat sisteminin dəqiqləşdirilməsi metodundan asılı deyil. Növbəti paraqrafda bu mühüm vəziyyətdən əhəmiyyətli dərəcədə istifadə edəcəyik.

Məşqlər

I. Koordinatları olan təyyarənin nöqtələri arasındakı məsafələri tapın:

1) (3.5) və (3.4); 3) (0,5) və (5, 0); 5) (-3,4) və (9, -17);

2) (2, 1) və (- 5, 1); 4) (0, 7) və (3,3); 6) (8, 21) və (1, -3).

II. Tərəfləri tənliklərlə verilmiş üçbucağın perimetrini tapın:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 və y = 1.

III. x0y koordinat sistemində M və N nöqtələrinin müvafiq olaraq (1, 0) və (0,1) koordinatları vardır. Köhnə oxları başlanğıc nöqtəsi ətrafında saat əqrəbinin əksinə 30° bucaqla fırlatmaqla əldə edilən yeni koordinat sistemində bu nöqtələrin koordinatlarını tapın.

IV. x0y koordinat sistemində M və N nöqtələrinin (2, 0) və (\) koordinatları var. / müvafiq olaraq 3/2, - 1/2). Köhnə oxları başlanğıc nöqtəsi ətrafında saat əqrəbi istiqamətində 30° bucaqla fırlatmaqla əldə edilən yeni koordinat sistemində bu nöqtələrin koordinatlarını tapın.

Burada kalkulyator olacaq

Xəttin iki nöqtəsi arasındakı məsafə

2 nöqtənin işarələndiyi bir koordinat xəttini nəzərdən keçirin: A A A Və B B B. Bu nöqtələr arasındakı məsafəni tapmaq üçün seqmentin uzunluğunu tapmaq lazımdır A B AB A B. Bu, aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə edilir:

Xəttin iki nöqtəsi arasındakı məsafə

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

Harada a, b a, b a, b- düz xətt üzrə bu nöqtələrin koordinatları (koordinat xətti).

Düstur modulu ehtiva etdiyinə görə, onu həll edərkən hansı koordinatdan hansı koordinatı çıxarmaq vacib deyildir (çünki bu fərqin mütləq qiyməti alınır).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b −a∣

Bu cür problemlərin həllini daha yaxşı başa düşmək üçün bir nümunəyə baxaq.

Misal 1

Koordinat xəttində nöqtələr qeyd olunur A A A, koordinatı bərabər olan 9 9 9 və dövr B B B koordinatı ilə − 1 -1 − 1 . Bu iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmaq lazımdır.

Həll

Budur a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Düsturdan istifadə edirik və dəyərləri əvəz edirik:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Cavab verin

Təyyarənin iki nöqtəsi arasındakı məsafə

Təyyarədə verilmiş iki nöqtəni nəzərdən keçirin. Təyyarədə qeyd olunan hər bir nöqtədən iki perpendikulyar endirmək lazımdır: Oxa O X OX O X və oxda O Y OY OY. Sonra üçbucaq nəzərə alınır A B C ABC A B C. düzbucaqlı olduğundan ( B C BC B C perpendikulyar A C AC A C), sonra seqmenti tapın A B AB A B, bu da nöqtələr arasındakı məsafədir, Pifaqor teoremindən istifadə etməklə edilə bilər. Bizdə:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Ancaq uzunluğuna əsaslanaraq A C AC A C bərabərdir x B − x A x_B-x_A x B​ − x A​ , və uzunluq B C BC B C bərabərdir y B − y A y_B-y_A y B​ − y A​ , bu düstur aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

Təyyarənin iki nöqtəsi arasındakı məsafə

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Harada x A , y A x_A, y_A x A​ , y A​ Və x B , y B x_B, y_B x B​ , y B​ - nöqtələrin koordinatları A A A Və B B B müvafiq olaraq.

Misal 2

Nöqtələr arasındakı məsafəni tapmaq lazımdır C C C Və F F F, əgər birincinin koordinatları (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) və ikinci - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Həll

X C = 8 x_C=8 x C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Cavab verin

Kosmosda iki nöqtə arasındakı məsafə

Bu vəziyyətdə iki nöqtə arasındakı məsafənin tapılması əvvəlkinə bənzəyir, ancaq fəzadakı nöqtənin koordinatları üç rəqəmlə müəyyən edilir; müvafiq olaraq, tətbiq oxun koordinatı da düstura əlavə edilməlidir. Formula belə görünəcək:

Kosmosda iki nöqtə arasındakı məsafə

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Misal 3

Seqmentin uzunluğunu tapın FK FKFK fəzada onun uclarında olan nöqtələrin koordinatları aşağıdakı kimi olarsa: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Və (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Cavabı ən yaxın tam ədədə yuvarlaqlaşdırın.

Həll

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Məsələnin şərtlərinə görə cavabı tam ədədə yuvarlaqlaşdırmalıyıq.

Mühazirə: İki nöqtə arasındakı məsafənin düsturu; sferanın tənliyi

İki nöqtə arasındakı məsafə

Əvvəlki sualda xəttin iki nöqtəsi arasındakı məsafəni tapmaq üçün d = x 2 – x 1 düsturundan istifadə etdik.

Ancaq təyyarəyə gəldikdə, hər şey fərqlidir. Sadəcə koordinatlardakı fərqi tapmaq kifayət deyil. Onların koordinatlarından istifadə edərək nöqtələr arasındakı məsafəni tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edin:

Məsələn, müəyyən koordinatları olan iki nöqtəniz varsa, onlar arasındakı məsafəni aşağıdakı kimi tapa bilərsiniz:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10.6.

Yəni müstəvidə iki nöqtə arasındakı məsafəni hesablamaq üçün koordinat fərqlərinin kvadratlarının cəminin kökünü tapmaq lazımdır.

Bir müstəvidə iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmaq lazımdırsa, əlavə koordinatı olan oxşar düsturdan istifadə etməlisiniz:

Sfera tənliyi

Kosmosda bir sferanı təyin etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə etmək üçün onun mərkəzinin koordinatlarını, eləcə də radiusunu bilməlisiniz:

Bu tənlik mərkəzi başlanğıcda olan sferaya uyğundur.

Əgər kürənin mərkəzi oxlar boyunca müəyyən sayda vahidlə yerdəyişsə, onda aşağıdakı düsturdan istifadə edilməlidir.

Qoy , (Şəkil 2.3). Tapmaq üçün tələb olunur.

Şəkil 2.3. İki nöqtə arasındakı məsafə.

Pifaqor teoreminə görə düzbucaqlıdan

Yəni,

Bu düstur və nöqtələrin istənilən yeri üçün etibarlıdır.

II. Bu baxımdan bir seqmentin bölünməsi:

Qoy,. Tapmaq tələb olunur , seqmentdə uzanaraq və onu verilmiş nisbətdə bölmək (Şəkil 2.4.).

Şəkil 2.4. Bu baxımdan bir seqmentin bölünməsi.

Oxşarlığından ~, yəni haradan. Eynilə.

Beləliklə,

– ilə bağlı seqmentin bölünməsi düsturu.

Əgər, onda

– seqmentin ortasının koordinatları.

Şərh. Alınan düsturlar fəza düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi vəziyyətinə ümumiləşdirilə bilər. Qoy xal ,. Sonra

- və nöqtələr arasındakı məsafəni tapmaq üçün düstur.

Seqmentin nisbətdə bölünməsi üçün düstur.

Dekart sistemlərinə əlavə olaraq, müstəvidə və fəzada çoxlu sayda başqa koordinat sistemləri, yəni iki və ya üç ədədi parametrdən (koordinatlardan) istifadə edərək bir nöqtənin müstəvidə və ya fəzada mövqeyini xarakterizə etmək yolları qurula bilər. Mövcud koordinat sistemlərindən bəzilərini nəzərdən keçirək.

Təyyarədə müəyyən etmək mümkündür qütb koordinat sistemi , xüsusilə fırlanma hərəkətlərinin öyrənilməsində istifadə olunur.

Şəkil 2.5. Qütb koordinat sistemi.

Müstəvidə bir nöqtəni və ondan çıxan yarımxətti təyin edək, həmçinin miqyas vahidini seçək (Şəkil 2.5). Nöqtə deyilir dirək , yarım xətt - qütb oxu . İstənilən nöqtəyə iki ədəd təyin edək:

– qütb radiusu , M nöqtəsindən O qütbünə qədər olan məsafəyə bərabərdir;

– qütb bucağı , qütb oxu ilə yarım xətt arasındakı bucağa bərabərdir.

Radianlarla ölçülür, dəyərlərin müsbət istiqaməti saat yönünün əksinə sayılır, adətən qəbul edilir.

Qütb radiusu qütbə uyğundur, onun üçün qütb bucağı müəyyən edilməyib.

Düzbucaqlı və qütb koordinatları arasındakı əlaqəni tapaq (Şəkil 2.6).

Şəkil 2.6. Düzbucaqlı və qütb koordinat sistemləri arasında əlaqə.

Düzbucaqlı koordinat sisteminin mənşəyini qütb, şüanı isə qütb oxu hesab edəcəyik. Qoy - düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində və - qütb koordinat sistemində. Düzbucaqlı və qütb koordinatları arasındakı əlaqəni tapaq.

Düzbucaqlıdan və düzbucaqlıdan. Beləliklə, düsturlar

nöqtənin düzbucaqlı koordinatlarını onun qütb koordinatları ilə ifadə edin.

Tərs əlaqə düsturlarla ifadə edilir

Şərh. Qütb bucağı əvvəllər nöqtənin yerləşdiyi dördbucaqlı koordinatlardan müəyyən edilərək düsturdan da müəyyən edilə bilər.

Misal 1. Nöqtənin qütb koordinatlarını tapın.

Həll. hesablayırıq; Qütb bucağı şərtlərdən tapılır:

Buna görə də, buna görə də.

Misal 2. Nöqtənin düzbucaqlı koordinatlarını tapın.

Həll. Hesablayırıq

alırıq.

Üçölçülü fəzada düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindən əlavə silindrik və sferik koordinat sistemlərindən də tez-tez istifadə olunur.

Silindrik koordinat sistemi müstəvidə qütb koordinat sistemidir, ona bu müstəviyə perpendikulyar fəza ox əlavə olunur (Şəkil 2.7). Hər hansı bir nöqtənin mövqeyi üç rəqəmlə xarakterizə olunur - onun silindrik koordinatları: , burada və nöqtənin qütb koordinat sisteminin seçildiyi müstəviyə proyeksiyasının qütb koordinatları (qütb radiusu və qütb bucağı) - ərizə, nöqtədən göstərilən müstəviyə qədər olan məsafəyə bərabərdir.

Şəkil 2.7. Silindrik koordinat sistemi

Düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi ilə silindrik arasında əlaqə yaratmaq üçün onları Şəkil 2.8-dəki kimi bir-birinə nisbətən yerləşdiririk (müstəvini müstəvidə yerləşdiririk və qütb oxu oxun müsbət istiqaməti ilə üst-üstə düşür, oxu hər iki koordinat sistemində ümumidir).

Nöqtənin düzbucaqlı koordinatları olsun, bu nöqtənin silindrik koordinatları olsun və nöqtənin müstəviyə proyeksiyası olsun. Sonra

nöqtənin düzbucaqlı və silindrik koordinatlarını birləşdirən düsturlar.

Şəkil 2.8. Düzbucaqlı Kartezyen arasındakı əlaqə

və silindrik koordinat sistemləri

Şərh. Fırlanma cisimlərini nəzərdən keçirərkən tez-tez silindrik koordinatlardan istifadə olunur, ox fırlanma oxu boyunca yerləşir.

Sferik koordinat sistemi aşağıdakı kimi qurmaq olar. Təyyarədə qütb oxunu seçək. Nöqtə vasitəsilə müstəviyə perpendikulyar düz xətt çəkirik (normal). Onda fəzanın istənilən nöqtəsi üç həqiqi ədədlə əlaqələndirilə bilər, burada nöqtədən məsafə, ox ilə seqmentin müstəviyə proyeksiyası arasındakı bucaq və normal ilə seqment arasındakı bucaqdır. Diqqət edin, , , .

Təyyarəni müstəvidə yerləşdirsək və oxun müsbət istiqaməti ilə üst-üstə düşmək üçün qütb oxunu seçsək və oxu normal olaraq seçsək (Şəkil 2.9), bu iki koordinat sistemini birləşdirən düsturlar alarıq.

Şəkil 2.9. Sferik və düzbucaqlı Dekart arasındakı əlaqə

koordinat sistemləri

Skalyar kəmiyyətlər, və ya skalyarlar seçilmiş vahidlər sistemində öz ədədi dəyəri ilə tamamilə xarakterizə olunur. Vektor kəmiyyətləri yaxud vektorların ədədi qiymətindən əlavə, istiqaməti də var. Məsələn, küləyin 10 m/san sürətlə əsdiyini desək, küləyin sürətinin skalyar qiymətini təqdim edəcəyik, lakin cənub-qərb küləyinin 10 m/san sürətlə əsdiyini söyləsək, onda bu halda küləyin sürəti artıq vektor olacaq.

Vektor müəyyən uzunluğa malik yönəldilmiş seqment adlanır, yəni. məhdudlaşdırıcı nöqtələrdən birinin başlanğıc, ikincisi isə son kimi qəbul edilən müəyyən uzunluqlu seqment. Biz vektoru ya və ya işarə edəcəyik (Şəkil 2.10).

Vektorun uzunluğu və ya simvolu ilə işarələnir və vektorun modulu adlanır. Uzunluğu 1 olan vektor deyilir subay . vektor deyilir sıfır , əgər onun başlanğıcı və sonu üst-üstə düşürsə və θ və ya ilə işarələnir. Null vektorunun xüsusi istiqaməti yoxdur və uzunluğu sıfıra bərabərdir. Eyni xətt üzərində və ya paralel xətlər üzərində yerləşən vektorlar deyilir kollinear . İki vektor deyilir bərabərdir , əgər onlar kollineardırsa, eyni uzunluğa və eyni istiqamətə malikdirlər. Bütün sıfır vektorlar bərabər hesab olunur.

Sıfırdan fərqli, böyüklükləri bərabər, lakin əks istiqamətə malik iki kollinear vektor deyilir. əks . Əks vektor əks vektor üçün , ilə işarələnir.

Nömrəyə xətti əməliyyatlar vektorlar üzərində toplama, vektorların çıxılması və vektorun ədədə vurulması əməliyyatları daxildir, yəni. nəticəsi vektor olan əməliyyatlar.

Vektorlar üzərində göstərilən əməliyyatları təyin edək. İki vektor verilsin. İxtiyari O nöqtəsini götürək və bir vektor quraq və A nöqtəsindən vektorun qrafigini çəkək. Sonra vektorun birinci həddinin əvvəlini ikincinin sonu ilə birləşdirən vektor deyilir məbləğ bu vektorlar ilə işarələnir. Vektorların cəmini tapmaq üçün nəzərdə tutulan qayda adlanır üçbucaq qaydaları (Şəkil 2.11).

Vektorların eyni cəmini başqa üsulla da almaq olar (Şəkil 2.12). Nöqtədən vektoru və vektoru çəkək. Bu vektorlar üzərində tərəflər kimi paraleloqram quraq. Təpədən çəkilmiş paraleloqramın diaqonalı olan vektor cəmi olacaqdır. Cəmi tapmaq üçün bu qayda deyilir paraleloqram qaydaları .

İstənilən sonlu sayda vektorların cəmini qırıq xətt qaydasından istifadə etməklə almaq olar (Şəkil 2.13). İxtiyari nöqtədən vektoru, sonra vektoru və s. Birincinin əvvəlini sonuncunun sonuna birləşdirən vektor cəmidir

məlumat vektorları, yəni. . Aydındır ki, vektorun son həddinin sonu birincinin başlanğıcı ilə üst-üstə düşürsə, vektorların cəmi sıfır vektoruna bərabərdir.

Fərqinə görə iki vektordur və belə vektor adlanır ki, çıxılan vektorla cəmi vektor verir. Buradan fərq vektorunun qurulması qaydası(Şəkil 2.14). Nöqtədən vektoru və vektoru çəkirik. Minuend vektorunun uclarını birləşdirən və alt vektordan minuend vektoruna yönəlmiş vektor fərqdir.

Vektorun məhsulu həqiqi ədəd üçün λ vektoruna kollinear olan ve uzunluğu və eyni istiqamətə malik vektordur if , vektora əks istiqamət isə əgər .

Daxil oldu xətti əməliyyatlar üzərində vektorlar var xassələri :

10. Əlavənin kommutativliyi: .

20. Əlavə assosiativlik: .

otuz. Əlavə ilə neytral elementin mövcudluğu: .

4 0 . Əlavə ilə əks elementin mövcudluğu:

50. Vektorların toplanmasına nisbətən ədədə vurmanın paylanması: .

6 0 . Bir vektorun iki ədədin cəminə vurulmasının paylanması:

7 0 . Bir vektorun ədədlərin hasilinə vurulması ilə bağlı assosiativlik xassəsi: .

Vektorlar sistemi verilsin:

λ i (i = 1,2,…, n) bəzi ədədlər olduğu ifadə deyilir xətti birləşmə vektor sistemləri (2.1). (2.1) vektorlar sistemi adlanır xətti asılıdır , əgər onların xətti kombinasiyası sıfıra bərabərdirsə, bu şərtlə ki, bütün λ 1, λ 2, ..., λ n ədədləri sıfıra bərabər olmasın. (2.1) vektorlar sistemi adlanır xətti müstəqil , əgər onların xətti kombinasiyası sıfıra bərabərdirsə, yalnız bütün ədədlər λ i = 0 () olduqda. Vektorların xətti asılılığının başqa tərifini verə bilərik. (2.1) vektorlar sistemi adlanır xətti asılıdır , bu sistemin hər hansı vektoru digərləri ilə xətti olaraq ifadə edilirsə, əks halda vektorlar sistemi (2.1) xətti müstəqil .

Müstəvidə yatan vektorlar üçün aşağıdakı ifadələr doğrudur.

10. Bir müstəvidə hər üç vektor xətti asılıdır.

20. Əgər müstəvidə bu vektorların sayı üçdən çox olarsa, onlar da xətti asılıdır.

otuz. Müstəvidə iki vektorun xətti müstəqil olması üçün onların kollinear olmaması zəruri və kifayətdir.

Beləliklə, müstəvidə xətti müstəqil vektorların maksimum sayı ikidir.

Vektorlar deyilir düzbucaqlı , əgər onlar eyni müstəvidə yerləşirlərsə və ya eyni müstəviyə paraleldirlərsə. Aşağıdakı ifadələr kosmik vektorlar üçün doğrudur.

10. Kosmosun hər dörd vektoru xətti asılıdır.

20. Kosmosda bu vektorların sayı dörddən çox olarsa, onlar da xətti asılıdır.

otuz. Üç vektorun xətti müstəqil olması üçün onların qeyri-komplanar olması zəruri və kifayətdir.

Beləliklə, fəzada xətti müstəqil vektorların maksimum sayı üçdür.

Bu sistemin istənilən vektorunun ifadə olunduğu xətti müstəqil vektorların istənilən maksimal alt sistemi adlanır əsas nəzərdən keçirilən vektor sistemləri . Belə nəticəyə gəlmək asandır ki, müstəvidəki bazis iki qeyri-kollinear vektordan, fəzadakı bazis isə üç qeyri-komplanar vektordan ibarətdir. Bazis vektorlarının sayı deyilir dərəcə vektor sistemləri. Bir vektorun bazis vektorlara genişlənmə əmsalları deyilir vektor koordinatları bu əsasda.

Vektorlar bazis təşkil etsin və , onda λ 1, λ 2, λ 3 ədədləri bazisdəki vektorun koordinatları olsun.Bu halda yazın Göstərmək olar ki, vektorun bazisdə parçalanması unikaldır. . Bazanın əsas mənası ondan ibarətdir ki, vektorlar üzərində xətti əməliyyatlar ədədlər üzərində adi xətti əməliyyatlara - bu vektorların koordinatlarına çevrilir. Vektorlar üzərində xətti əməliyyatların xassələrindən istifadə edərək aşağıdakı teoremi sübut edə bilərik.

Teorem. İki vektor əlavə edildikdə, onların müvafiq koordinatları əlavə olunur. Bir vektor ədədə vurulduqda onun bütün koordinatları həmin ədədə vurulur.

Beləliklə, əgər və , onda , harada və harada , λ müəyyən ədəddir.

Tipik olaraq, müstəvidəki bütün vektorların ümumi mənşəyə endirildiyi, xətti əməliyyatlar daxil edilmiş çoxluğu V 2 ilə, fəzadakı bütün vektorların ümumi mənşəyə endirilmiş çoxluğu isə V 3 ilə işarələnir. V 2 və V 3 dəstləri adlanır həndəsi vektorların fəzaları.

Vektorlar arasındakı bucaq və bu vektorları ümumi başlanğıca gətirdikdən sonra vektorlardan birinin ikincisi ilə üst-üstə düşənə qədər fırlanmalı olduğu ən kiçik bucaq () adlanır.

Nöqtə məhsulu iki vektor bu vektorların modullarının hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabər olan ədəddir. vektorların skalyar hasili və , və ya ilə işarələnir

Əgər və vektorları arasındakı bucaq bərabərdirsə, onda

Həndəsi nöqteyi-nəzərdən vektorların skalyar hasili bir vektorun modulu ilə digər vektorun ona proyeksiyasının hasilinə bərabərdir. Bərabərlikdən (2.2) belə çıxır ki

Buradan iki vektorun ortoqonallıq şərti: iki vektor Və skalyar hasilinin sıfıra bərabər olduğu halda ortoqonaldır, yəni. .

Vektorların nöqtə hasili xətti əməliyyat deyil, çünki onun nəticəsi vektor deyil, ədəddir.

Skayar məhsulun xassələri.

1º. - kommutativlik.

2º. - paylanma.

3º. – ədədi amillə bağlı assosiativlik.

4º. - skalyar kvadratın xassəsi.

Mülkiyyətdən 4º tərifi izləyir vektor uzunluğu :

V 3 fəzasında əsas verilsin, burada vektorlar vahid vektordur (bunlara vahid vektor deyilir), onların hər birinin istiqaməti düzbucaqlı Dekart koordinatının Ox, Oy, Oz koordinat oxlarının müsbət istiqaməti ilə üst-üstə düşür. sistemi.

Bu əsasa uyğun olaraq V 3 fəza vektorunu genişləndirək (Şəkil 2.15):

Vektorlar koordinat oxları boyunca vektor komponentləri və ya komponentlər, ədədlər adlanır a x, a y, a z– vektorun düzbucaqlı Dekart koordinatları A. Vektorun istiqaməti onun koordinat xətləri ilə yaratdığı α, β, γ bucaqları ilə müəyyən edilir. Bu bucaqların kosinusu istiqamət vektoru adlanır. Sonra istiqamət kosinusları düsturlarla müəyyən edilir:

Bunu göstərmək asandır

Skayar hasilini koordinat şəklində ifadə edək.

Qoy olsun. Bu vektorları çoxhədlilərə vuraraq tapmaq üçün ifadə aldığımızı nəzərə alsaq koordinat şəklində nöqtə məhsulu:

olanlar. iki vektorun skalyar hasili eyniadlı koordinatların qoşalaşmış hasillərinin cəminə bərabərdir.

(2.6) və (2.4)-dən tapmaq üçün düsturdan sonra vektor uzunluğu :

(2.6) və (2.7) bəndlərindən müəyyən etmək üçün düstur alırıq vektorlar arasındakı bucaq:

Onlardan hansının birinci, hansının ikinci, hansının üçüncü hesab edildiyi göstərilibsə, vektorların üçlüyü sıralı adlanır.

Sifariş verildi üç vektor çağırdı sağ , əgər onları üçüncü vektorun sonundan ümumi mənşəyə gətirdikdən sonra birinci vektordan ikinci vektora ən qısa dönüş saat yönünün əksinə edilir. Əks halda vektorların üçlüyü deyilir sol . Məsələn, Şəkil 2.15-də , vektorları vektorların sağ üçlüyünü, , vektorları isə vektorların sol üçlüyünü təşkil edir.

Eyni şəkildə üçölçülü fəzada sağ və sol koordinat sistemləri anlayışı təqdim olunur.

Vektor rəsm vektora görə vektor vektordur (başqa qeyd) ki:

1) uzunluğu var , burada və vektorlar arasındakı bucaq;

2) vektorlara perpendikulyar və (), yəni. vektorlarının olduğu müstəviyə perpendikulyardır;

Tərifinə görə koordinat vahidi vektorlarının vektor məhsulunu tapırıq , , :

Əgər , , onda vektor və vektorun vektor hasilinin koordinatları düsturla müəyyən edilir:

Tərifdən belə çıxır vektor sənətinin həndəsi mənası : vektorun böyüklüyü vektorları üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsinə bərabərdir.

Vektor məhsulunun xüsusiyyətləri:

4 0 . , və vektorları kollineardırsa və ya bu vektorlardan biri sıfırdırsa.

Misal 3. Paraleloqram və , burada , , vektorları üzərində qurulur. Bu paraleloqramın diaqonallarının uzunluğunu, diaqonallar arasındakı bucağı və paraleloqramın sahəsini hesablayın.

Həll. Vektorların qurulması və Şəkil 2.16-da, bu vektorlar üzərində paraleloqramın qurulması Şəkil 2.17-də göstərilmişdir.

Gəlin bu problemin analitik həllini həyata keçirək. Quraşdırılmış paraleloqramın diaqonallarını təyin edən vektorları və vektorları vasitəsilə, sonra isə və vasitəsilə ifadə edək. Biz tapdıq , . Sonra paraleloqramın diaqonallarının uzunluqlarını qurulmuş vektorların uzunluqları kimi tapırıq.

Paraleloqramın diaqonalları arasındakı bucaq ilə işarələnir. Sonra vektorların skalyar hasilinin düsturundan əldə edirik:

Beləliklə, .

Vektor məhsulunun xüsusiyyətlərindən istifadə edərək paraleloqramın sahəsini hesablayırıq:

Üç , və , vektoru verilsin. Təsəvvür edək ki, vektor vektorla vurulur, vektor və nəticədə vektor isə vektorla skalyar şəkildə vurulur və bununla da ədəd müəyyən edilir. Buna vektor-skalar və ya deyilir qarışıq iş üç vektor və . və ya ilə işarələnir.

Gəlin öyrənək qarışıq məhsulun həndəsi mənası (Şəkil 2.18). Qoy , , müştərək olmasın. Bu vektorlar üzərində kənarlarda olduğu kimi paralelepiped quraq. Çarpaz məhsul, modulu paraleloqramın (paralelepipedin əsası) sahəsinə bərabər olan vektorlar üzərində qurulmuş və paraleloqramın müstəvisinə perpendikulyar yönəldilmiş vektordur.

Nöqtə hasili (vektorun modulu ilə proyeksiyanın hasilinə bərabərdir). Quraşdırılmış paralelepipedin hündürlüyü bu proyeksiyanın mütləq qiymətidir. Nəticə etibarilə, üç vektorun qarışıq məhsulunun mütləq dəyəri vektorlar üzərində qurulmuş paralelepipedin həcminə bərabərdir və , yəni. .

Buradan vektorlar üzərində qurulmuş üçbucaqlı piramidanın həcmi düsturla hesablanır.

Bir az daha qeyd edək qarışıq məhsulun xüsusiyyətləri vektorlar.

1 o. , və vektorları əsas sistemlə eyniadlı sistem təşkil edərsə məhsulun işarəsi müsbət, əks halda isə mənfi olur.

Həqiqətən, və arasındakı bucaq kəskin olarsa, skalyar hasil müsbət, bucaq geniş olarsa mənfi olur. və arasında kəskin bucaq ilə və vektorları paralelepipedin əsasına nisbətən bir tərəfdə yerləşir və buna görə də vektorun sonundan, fırlanma vektorun sonundan olduğu kimi görünəcəkdir. vektor, yəni. müsbət istiqamətdə (saat əqrəbinin əksinə).

Küt bucaqda, həm vektorlar, həm də paralelepipedin təməlində yerləşən paraleloqramın müstəvisinə nisbətən müxtəlif tərəflərdə yerləşirlər və buna görə də vektorun sonundan fırlanma mənfi istiqamətdə görünür ( saat yönünde).

2 o Qarışıq məhsulun amilləri dairəvi şəkildə yenidən düzüldükdə dəyişmir: .

3 o Hər hansı iki vektor yenidən təşkil edildikdə, qarışıq məhsul yalnız işarəni dəyişir. Misal üçün, , . , . - naməlum sistemlər.

Sistem(3.1) adlanır homojen , əgər bütün üzvlər azaddırsa. Sistem (3.1) adlanır heterojen , əgər azad üzvlərdən ən azı biri .

Sistem həlliədədlər toplusu adlanır, onları sistemin tənliklərinə uyğun naməlumlar əvəzinə əvəz etdikdə sistemin hər bir tənliyi eyniliyə çevrilir. Həlli olmayan sistemə deyilir uyğunsuz, və ya mübahisəli . Ən azı bir həlli olan sistemə deyilir birgə .

Birgə sistem adlanır müəyyən , əgər onun unikal həlli varsa. Ardıcıl bir sistemin birdən çox həlli varsa, o zaman çağırılır qeyri-müəyyən . Homojen bir sistem həmişə ardıcıldır, çünki onun ən azı sıfır həlli var. Naməlumlar üçün sistemin hər hansı bir xüsusi həllinin alına biləcəyi ifadə deyilir ümumi qərar , və sistemin istənilən konkret həlli onundur şəxsi həll . Eyni bilinməyən iki sistem ekvivalent (ekvivalent ), onlardan birinin hər bir həlli digərinin həllidirsə və ya hər iki sistem uyğunsuzdursa.

Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üsullarını nəzərdən keçirək.

Xətti tənlik sistemlərinin həlli üçün əsas üsullardan biri Gauss metodu, və ya ardıcıl üsul bilinməyənlərin istisna edilməsi. Bu metodun mahiyyəti xətti tənliklər sistemini pilləli formaya endirməkdir. Bu vəziyyətdə aşağıdakı tənliklər yerinə yetirilməlidir: elementar çevrilmələr :

1. Sistemin tənliklərinin yenidən təşkili.

2. Bir tənliyə başqa tənliyin əlavə edilməsi.

3. Tənliyin hər iki tərəfinin sıfırdan fərqli bir ədədə vurulması.

Nəticədə sistem aşağıdakı formanı alacaq:

Bu prosesi daha da davam etdirərək, üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən naməlumu aradan qaldırırıq. Bunun üçün ikinci tənliyi ədədlərə vurub sistemin 3-cü, ..., -ci tənliyinə əlavə edin. Gauss metodunun aşağıdakı addımları oxşar şəkildə həyata keçirilir. Əgər çevrilmələr nəticəsində eyni tənlik əldə ediriksə, onu sistemdən silirik. Qauss metodunun hansısa addımında formanın tənliyi alınarsa:

onda baxılan sistem uyğunsuzdur və onun sonrakı həlli dayanır. Elementar çevrilmələri yerinə yetirərkən (3.2) formasının tənliyinə rast gəlinməzsə, onda -dən çox olmayan addımlarda sistem (3.1) pilləli formaya çevriləcəkdir:

Sistemin müəyyən bir həllini əldə etmək üçün (3.4)-dəki sərbəst dəyişənlərə xüsusi qiymətlər təyin etmək lazımdır.

Qeyd edək ki, Qauss metodunda bütün çevrilmələr naməlum tənliklərin və sərbəst şərtlərin əmsalları üzərində aparıldığı üçün praktikada bu üsul adətən naməlumların əmsallarından və sərbəst şərtlər sütunundan ibarət matrisə tətbiq edilir. Bu matris uzadılmış adlanır. Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, bu matris addım-addım formaya salınır. Sonra nəticədə alınan matrisdən istifadə edərək sistem yenidən qurulur və bütün əvvəlki əsaslandırmalar ona tətbiq edilir.

Misal 1. Sistemi həll edin:

Həll. Genişləndirilmiş bir matris yaradırıq və onu mərhələli bir formaya endiririk:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - ikinci sətir vuruldu və üçüncü sətir kəsildi.

Koordinatlardan istifadə etməklə cismin yer kürəsində yeri müəyyən edilir. Koordinatlar enlik və uzunluqla göstərilir. Genişliklər hər iki tərəfdən ekvator xəttindən ölçülür. Şimal yarımkürəsində enliklər müsbət, cənub yarımkürəsində isə mənfidir. Uzunluq əsas meridiandan müvafiq olaraq şərq və ya qərbdən ölçülür, şərq və ya qərb uzunluğu əldə edilir.

Ümumi qəbul edilmiş mövqeyə görə, əsas meridian Qrinviçdəki köhnə Qrinviç Rəsədxanasından keçən meridian kimi qəbul edilir. Yerin coğrafi koordinatları GPS naviqatorundan istifadə etməklə əldə edilə bilər. Bu cihaz, bütün dünya üçün vahid olan WGS-84 koordinat sistemində peyk yerləşdirmə sisteminin siqnallarını qəbul edir.

Naviqator modelləri istehsalçıya, funksionallığa və interfeysə görə fərqlənir. Hazırda bəzi mobil telefon modellərində quraşdırılmış GPS naviqatorları da mövcuddur. Ancaq istənilən model nöqtənin koordinatlarını qeyd edə və saxlaya bilər.

GPS koordinatları arasındakı məsafə

Bəzi sənaye sahələrində praktiki və nəzəri məsələləri həll etmək üçün onların koordinatları ilə nöqtələr arasındakı məsafələri təyin etməyi bacarmaq lazımdır. Bunu edə biləcəyiniz bir neçə üsul var. Coğrafi koordinatları təmsil etməyin kanonik forması: dərəcələr, dəqiqələr, saniyələr.

Məsələn, aşağıdakı koordinatlar arasındakı məsafəni təyin edə bilərsiniz: №1 nöqtə - enlik 55°45'07" N, uzunluq 37°36'56" E; 2-ci nöqtə - enlik 58°00′02″ N, uzunluq 102°39′42″ E.

Ən asan yol iki nöqtə arasındakı uzunluğu hesablamaq üçün kalkulyatordan istifadə etməkdir. Brauzer axtarış sistemində aşağıdakı axtarış parametrlərini təyin etməlisiniz: onlayn - iki koordinat arasındakı məsafəni hesablamaq üçün. Onlayn kalkulyatorda birinci və ikinci koordinatlar üçün sorğu sahələrinə enlik və uzunluq dəyərləri daxil edilir. Hesablama zamanı onlayn kalkulyator nəticə verdi - 3.800.619 m.

Növbəti üsul daha çox əmək tələb edir, həm də daha vizualdır. Siz hər hansı mövcud xəritəçəkmə və ya naviqasiya proqramından istifadə etməlisiniz. Koordinatlardan istifadə edərək nöqtələr yarada və aralarındakı məsafələri ölçə biləcəyiniz proqramlara aşağıdakı proqramlar daxildir: BaseCamp (MapSource proqramının müasir analoqu), Google Earth, SAS.Planet.

Yuxarıda göstərilən proqramların hamısı istənilən şəbəkə istifadəçisi üçün mövcuddur. Məsələn, Google Earth-də iki koordinat arasındakı məsafəni hesablamaq üçün birinci nöqtənin və ikinci nöqtənin koordinatlarını göstərən iki etiket yaratmalısınız. Sonra, "Ruler" alətindən istifadə edərək, birinci və ikinci işarələri bir xətt ilə birləşdirməlisiniz, proqram avtomatik olaraq ölçmə nəticəsini göstərəcək və Yerin peyk şəklindəki yolu göstərəcəkdir.

Yuxarıda göstərilən nümunədə Google Earth proqramı nəticəni qaytardı - 1 nömrəli nöqtə ilə 2 nömrəli nöqtə arasındakı məsafənin uzunluğu 3,817,353 m-dir.

Niyə məsafəni təyin edərkən səhv var

Koordinatlar arasındakı genişliyin bütün hesablamaları qövs uzunluğunun hesablanmasına əsaslanır. Qövsün uzunluğunu hesablamaqda Yerin radiusu iştirak edir. Lakin Yerin forması düzbucaqlı ellipsoidə yaxın olduğu üçün Yerin radiusu müəyyən nöqtələrdə dəyişir. Koordinatlar arasındakı məsafəni hesablamaq üçün Yerin radiusunun orta qiyməti alınır ki, bu da ölçmədə xəta verir. Ölçülən məsafə nə qədər böyükdürsə, səhv bir o qədər böyük olar.