Určenie vzdialenosti medzi bodmi. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine.
Súradnicové systémy

Každý bod A roviny je charakterizovaný svojimi súradnicami (x, y). Zhodujú sa so súradnicami vektora 0A vychádzajúceho z bodu 0 - počiatku súradníc.

Nech A a B sú ľubovoľné body roviny so súradnicami (x 1 y 1) a (x 2, y 2).

Potom vektor AB má zjavne súradnice (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Je známe, že druhá mocnina dĺžky vektora sa rovná súčtu štvorcov jeho súradníc. Preto vzdialenosť d medzi bodmi A a B, alebo, čo je rovnaká, dĺžka vektora AB, sa určí z podmienky

d2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Výsledný vzorec vám umožňuje nájsť vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi v rovine, ak sú známe iba súradnice týchto bodov

Zakaždým, keď hovoríme o súradniciach konkrétneho bodu v rovine, máme na mysli dobre definovaný súradnicový systém x0y. Vo všeobecnosti možno súradnicový systém v rovine zvoliť rôznymi spôsobmi. Takže namiesto súradnicového systému x0y môžete zvážiť súradnicový systém x"0y", ktorý sa získa otáčaním starých súradnicových osí okolo počiatočného bodu 0 proti smeru hodinových ručičiekšípky na rohu α .

Ak mal určitý bod roviny v súradnicovom systéme x0y súradnice (x, y), tak v novom súradnicovom systéme x"0y" bude mať iné súradnice (x, y").

Ako príklad uvažujme bod M, ktorý sa nachádza na osi 0x a je oddelený od bodu 0 vo vzdialenosti 1.

Je zrejmé, že v súradnicovom systéme x0y má tento bod súradnice (cos α ,hriech α ) a v súradnicovom systéme x"0y" sú súradnice (1,0).

Súradnice ľubovoľných dvoch bodov v rovine A a B závisia od toho, ako je v tejto rovine špecifikovaný súradnicový systém. Ale vzdialenosť medzi týmito bodmi nezávisí od spôsobu určenia súradnicového systému. Túto dôležitú okolnosť výrazne využijeme v nasledujúcom odseku.

Cvičenia

I. Nájdite vzdialenosti medzi bodmi roviny so súradnicami:

1) (3,5) a (3,4); 3) (0,5) a (5, 0); 5) (-3,4) a (9, -17);

2) (2, 1) a (-5, 1); 4) (0, 7) a (3, 3); 6) (8, 21) a (1, -3).

II. Nájdite obvod trojuholníka, ktorého strany sú dané rovnicami:

x + y - 1 = 0, 2 x - y - 2 = 0 a y = 1.

III. V súradnicovom systéme x0y majú body M a N súradnice (1, 0) a (0,1). Nájdite súradnice týchto bodov v novom súradnicovom systéme, ktorý sa získa otočením starých osí okolo počiatočného bodu o uhol 30° proti smeru hodinových ručičiek.

IV. V súradnicovom systéme x0y majú body M a N súradnice (2, 0) a (\ / 3/2, - 1/2). Nájdite súradnice týchto bodov v novom súradnicovom systéme, ktorý sa získa otočením starých osí okolo počiatočného bodu o uhol 30° v smere hodinových ručičiek.

Tu bude kalkulačka

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi na priamke

Zvážte súradnicovú čiaru, na ktorej sú vyznačené 2 body: A A A A B B B. Ak chcete nájsť vzdialenosť medzi týmito bodmi, musíte nájsť dĺžku segmentu A B AB A B. To sa vykonáva pomocou nasledujúceho vzorca:

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi na priamke

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a-b∣,

Kde a, b a, b a, b- súradnice týchto bodov na priamke (súradnicovej čiare).

Vzhľadom na to, že vzorec obsahuje modul, pri jeho riešení nie je dôležité, ktorú súradnicu od ktorej odčítať (keďže sa berie absolútna hodnota tohto rozdielu).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a-b ∣ =∣ b −a∣

Pozrime sa na príklad, aby sme lepšie pochopili riešenie takýchto problémov.

Príklad 1

Body sú vyznačené na súradnicovej čiare A A A, ktorého súradnica sa rovná 9 9 9 a bodka B B B so súradnicou − 1 -1 − 1 . Musíme nájsť vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi.

Riešenie

Tu a = 9, b = - 1 a = 9, b = -1 a =9, b =− 1

Použijeme vzorec a dosadíme hodnoty:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a-b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Odpoveď

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine

Zvážte dva body dané na rovine. Z každého bodu označeného v rovine musíte spustiť dve kolmice: Na os O X OX VÔL a na náprave O Y OY OY. Potom sa uvažuje o trojuholníku A B C ABC A B C. Keďže je obdĺžnikový ( BC BC B C kolmý AC AC A C), potom nájdite segment A B AB A B, čo je aj vzdialenosť medzi bodmi, sa dá urobiť pomocou Pytagorovej vety. Máme:

A B2 = AC2 + B C2AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Ale na základe skutočnosti, že dĺžka AC AC A C rovná x B − x A x_B-x_A X B​ − X A​ a dĺžka BC BC B C rovná y B − y A y_B-y_A r B​ − r A​ , tento vzorec možno prepísať takto:

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(X B​ − X A​ ) 2 + (r B​ − r A​ ) 2 ​ ,

Kde x A , y A x_A, y_A X A​ , r A​ A x B, y B x_B, y_B X B​ , r B​ - súradnice bodov A A A A B B B resp.

Príklad 2

Je potrebné nájsť vzdialenosť medzi bodmi C C C A F F F, ak sú súradnice prvého (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) a za druhé - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Riešenie

Xc = 8 x_C=8 X C​ = 8
yC = -1 y_C=-1 r C​ = − 1
x F = 4 x_F = 4 X F​ = 4
y F = 2 y_F = 2 r F​ = 2

CF = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25) = 5C F =(X F​ − X C​ ) 2 + (r F​ − r C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Odpoveď

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v priestore

Nájdenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi je v tomto prípade podobné ako v predchádzajúcom, s tým rozdielom, že súradnice bodu v priestore sú určené tromi číslami, podľa toho je potrebné do vzorca pridať aj súradnicu osi aplikácie. Vzorec bude vyzerať takto:

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v priestore

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(X B​ − X A​ ) 2 + (r B​ − r A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Príklad 3

Nájdite dĺžku segmentu FK FKFK v priestore, ak súradnice bodov na jeho koncoch sú nasledovné: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) A (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Odpoveď zaokrúhlite na najbližšie celé číslo.

Riešenie

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K\; =\; (-3;\; 6;\; 0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(X^{K-X^{F{)}^{2+(r^{K-r^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Podľa podmienok úlohy musíme odpoveď zaokrúhliť na celé číslo.

Prednáška: Vzorec pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi; rovnica gule

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi

Na zistenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi na priamke v predchádzajúcej otázke sme použili vzorec d = x 2 – x 1.

Ale čo sa týka lietadla, veci sú iné. Nestačí jednoducho nájsť rozdiel v súradniciach. Ak chcete zistiť vzdialenosť medzi bodmi pomocou ich súradníc, použite nasledujúci vzorec:

Napríklad, ak máte dva body s určitými súradnicami, vzdialenosť medzi nimi môžete nájsť takto:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

To znamená, že na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi v rovine je potrebné nájsť koreň súčtu druhých mocnín súradnicových rozdielov.

Ak potrebujete nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine, mali by ste použiť podobný vzorec s dodatočnou súradnicou:

Sférická rovnica

Ak chcete definovať guľu v priestore, musíte poznať súradnice jej stredu, ako aj jej polomer, aby ste mohli použiť nasledujúci vzorec:

Táto rovnica zodpovedá gule, ktorej stred je v počiatku.

Ak je stred gule posunutý o určitý počet jednotiek pozdĺž osí, potom by sa mal použiť nasledujúci vzorec.

Nechajte , (obrázok 2.3). Vyžaduje sa nájsť.

Obrázok 2.3. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi.

Z pravouhlého podľa Pytagorovej vety máme

teda

Tento vzorec je platný pre akékoľvek umiestnenie bodov a .

II. Rozdelenie segmentu z tohto hľadiska:

Nechajte,. Je potrebné nájsť , ležať na segmente a rozdeliť ho v danom pomere (obrázok 2.4.).

Obrázok 2.4. Rozdelenie segmentu v tomto ohľade.

Z podobnosti ~, teda odkiaľ. Podobne.

teda

– vzorec na delenie segmentu vo vzťahu k .

Ak potom

– súradnice stredu segmentu.

Komentujte. Odvodené vzorce možno zovšeobecniť na prípad priestorového pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. Nechajte body, . Potom

- vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi a .

Vzorec na delenie segmentu vo vzťahu.

Okrem karteziánskych je možné v rovine a v priestore zostrojiť veľké množstvo ďalších súradnicových systémov, teda spôsobov, ako charakterizovať polohu bodu v rovine alebo v priestore pomocou dvoch alebo troch číselných parametrov (súradníc). Zoberme si niektoré z existujúcich súradnicových systémov.

Na rovine je možné určiť polárny súradnicový systém , ktorý sa využíva najmä pri štúdiu rotačných pohybov.

Obrázok 2.5. Polárny súradnicový systém.

Upevnime bod na rovine a z neho vychádzajúcu polpriamku a tiež vyberieme jednotku mierky (obrázok 2.5). Pointa sa volá pól , polčiara – polárna os . Priraďme dve čísla ľubovoľnému bodu:

– polárny polomer rovná vzdialenosti od bodu M k pólu O;

– polárny uhol , rovný uhlu medzi polárnou osou a polpriamkou.

Kladný smer hodnôt meraný v radiánoch sa počíta od proti smeru hodinových ručičiek, zvyčajne sa predpokladá.

Polárny polomer zodpovedá pólu, polárny uhol preň nie je definovaný.

Nájdite vzťah medzi pravouhlými a polárnymi súradnicami (obrázok 2.6).

Obrázok 2.6. Vzťah medzi pravouhlým a polárnym súradnicovým systémom.

Za počiatok pravouhlého súradnicového systému budeme považovať pól a lúč za polárnu os. Nech - v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme a - v polárnom súradnicovom systéme. Poďme nájsť vzťah medzi pravouhlými a polárnymi súradnicami.

Z obdĺžnikového a z obdĺžnikového. Teda vzorce

vyjadriť pravouhlé súradnice bodu pomocou jeho polárnych súradníc.

Inverzný vzťah je vyjadrený vzorcami

Komentujte. Polárny uhol možno určiť aj zo vzorca, ktorý sa predtým určil z pravouhlých súradníc, v ktorom kvadrante bod leží.

Príklad 1 Nájdite polárne súradnice bodu.

Riešenie. Vypočítame; Polárny uhol sa zistí z podmienok:

Preto, teda.

Príklad 2 Nájdite pravouhlé súradnice bodu.

Riešenie. Počítame

Dostaneme.

V trojrozmernom priestore sa okrem pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému často používajú aj valcové a sférické súradnicové systémy.

Cylindrický súradnicový systém je polárny súradnicový systém v rovine, ku ktorému sa pridáva priestorová os kolmá na túto rovinu (obrázok 2.7). Poloha ľubovoľného bodu je charakterizovaná tromi číslami - jeho valcovými súradnicami: , kde a sú polárne súradnice (polárny polomer a polárny uhol) priemetu bodu do roviny, v ktorej je zvolený polárny súradnicový systém - aplikácia, ktorá sa rovná vzdialenosti od bodu k určenej rovine.

Obrázok 2.7. Cylindrický súradnicový systém

Aby sme vytvorili vzťah medzi pravouhlým karteziánskym súradnicovým systémom a valcovým súradnicovým systémom, umiestnime ich voči sebe navzájom ako na obrázku 2.8 (rovinu umiestnime do roviny a polárna os sa zhoduje s kladným smerom osi, os je spoločný v oboch súradnicových systémoch).

Nech sú pravouhlé súradnice bodu, sú valcové súradnice tohto bodu a nech sú projekciou bodu do roviny. Potom

vzorce spájajúce pravouhlé a valcové súradnice bodu.

Obrázok 2.8. Vzťah medzi pravouhlým karteziánom

a cylindrické súradnicové systémy

Komentujte. Cylindrické súradnice sa často používajú pri zvažovaní rotačných telies s osou umiestnenou pozdĺž osi rotácie.

Sférický súradnicový systém možno skonštruovať nasledovne. Vyberme si polárnu os v rovine. Cez bod nakreslíme priamku kolmú na rovinu (normálnu). Potom môže byť akýkoľvek bod v priestore spojený s tromi reálnymi číslami, kde je vzdialenosť od bodu k, je uhol medzi osou a priemetom úsečky na rovinu a je uhol medzi normálou a úsečkou. Všimni si , , .

Ak umiestnime rovinu do roviny a zvolíme polárnu os tak, aby sa zhodovala s kladným smerom osi, a vyberieme os ako normálnu (obrázok 2.9), získame vzorce spájajúce tieto dva súradnicové systémy.

Obrázok 2.9. Vzťah medzi sférickým a pravouhlým karteziánom

súradnicové systémy

Skalárne veličiny, alebo skaláre sú úplne charakterizované svojou číselnou hodnotou vo zvolenom systéme jednotiek. Vektorové množstvá alebo vektory majú okrem svojej číselnej hodnoty aj smer. Napríklad, ak povieme, že vietor fúka rýchlosťou 10 m/s, tak zavedieme skalárnu hodnotu rýchlosti vetra, ale ak povieme, že juhozápadný vietor fúka rýchlosťou 10 m/sec, tak zavedieme skalárnu hodnotu rýchlosti vetra. potom v tomto prípade bude rýchlosť vetra už vektor.

Vektor nazývaný usmernený segment majúci určitú dĺžku, t.j. segment určitej dĺžky, v ktorom sa jeden z obmedzujúcich bodov považuje za začiatok a druhý za koniec. Vektor budeme označovať buď alebo (obrázok 2.10).

Dĺžka vektora sa označuje symbolom alebo a nazýva sa modul vektora. Voláme vektor, ktorého dĺžka je 1 slobodný . Vektor sa nazýva nula , ak sa jej začiatok a koniec zhodujú a značí sa θ alebo . Nulový vektor nemá žiadny špecifický smer a má dĺžku rovnú nule. Nazývajú sa vektory umiestnené na rovnakej alebo rovnobežnej čiare kolineárne . Tieto dva vektory sa nazývajú rovný , ak sú kolineárne, majú rovnakú dĺžku a rovnaký smer. Všetky nulové vektory sa považujú za rovnaké.

Vyvolajú sa dva kolineárne vektory, odlišné od nuly, ktoré majú rovnakú veľkosť, ale opačné smery opak . Vektor opačný je označený , pre opačný vektor.

K číslu lineárne operácie nad vektory zahŕňajú operácie sčítania, odčítania vektorov a násobenia vektora číslom, t.j. operácie, ktorých výsledkom je vektor.

Definujme naznačené operácie s vektormi. Nech sú dané dva vektory a. Zoberme si ľubovoľný bod O a zostrojme vektor a vynesme vektor z bodu A. Potom sa zavolá vektor spájajúci začiatok prvého člena vektora s koncom druhého čiastka tieto vektory sú označené . Uvažované pravidlo na nájdenie súčtu vektorov je tzv pravidlá trojuholníka (Obrázok 2.11).

Rovnaký súčet vektorov možno získať iným spôsobom (obrázok 2.12). Nakreslíme vektor a vektor z bodu. Zostrojme na týchto vektoroch rovnobežník ako na stranách. Vektor, ktorý je uhlopriečkou rovnobežníka nakresleného z vrcholu, bude súčtom. Toto pravidlo na zistenie sumy sa nazýva pravidlá rovnobežníka .

Súčet ľubovoľného konečného počtu vektorov možno získať pomocou pravidla prerušovanej čiary (obrázok 2.13). Z ľubovoľného bodu nakreslíme vektor, potom vektor atď. Vektor spájajúci začiatok prvého s koncom posledného je súčet

dátové vektory, t.j. . Je zrejmé, že ak sa koniec posledného člena vektora zhoduje so začiatkom prvého, potom sa súčet vektorov rovná nulovému vektoru.

Rozdielom dva vektory a nazýva sa taký vektor, ktorého súčet s odčítaným vektorom dáva vektor. Odtiaľ pravidlo pre konštrukciu diferenčného vektora(Obrázok 2.14). Z bodu vynesieme vektor a vektor . Vektor spájajúci konce menštruačného vektora a subtrahendového vektora a nasmerovaný z subtrahendového vektora k minuendovému vektoru je rozdiel.

Produkt vektora pre reálne číslo λ je vektor, ktorý je kolineárny s vektorom a má dĺžku a rovnaký smer ako vektor if a smer opačný ako vektor if .

Zadané lineárne operácie nad vektormi majú vlastnosti :

10. Komutatívnosť sčítania: .

20. Adičná asociativita: .

tridsať . Existencia neutrálneho prvku pridaním: .

4 0 . Existencia opačného prvku pridaním:

50 . Distribúcia násobenia číslom vo vzťahu k súčtu vektorov: .

6 0 . Distributivita vynásobenia vektora súčtom dvoch čísel:

7 0 . Asociačná vlastnosť týkajúca sa násobenia vektora súčinom čísel: .

Nech je daný systém vektorov:

Výraz, kde λ i (i = 1,2,…, n) sú nejaké čísla, sa nazýva lineárna kombinácia systémy vektorov (2.1). Sústava vektorov (2.1) je tzv lineárne závislé , ak sa ich lineárna kombinácia rovná nule, za predpokladu, že nie všetky čísla λ 1, λ 2, ..., λ n sa rovnajú nule. Sústava vektorov (2.1) je tzv lineárne nezávislé , ak sa ich lineárna kombinácia rovná nule len vtedy, ak všetky čísla λ i = 0 (). Môžeme uviesť inú definíciu lineárnej závislosti vektorov. Sústava vektorov (2.1) je tzv lineárne závislé , ak je ktorýkoľvek vektor tohto systému lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných, inak systém vektorov (2.1) lineárne nezávislé .

Pre vektory ležiace v rovine platia nasledujúce tvrdenia.

10. Akékoľvek tri vektory v rovine sú lineárne závislé.

20. Ak je počet týchto vektorov v rovine viac ako tri, potom sú tiež lineárne závislé.

tridsať . Aby boli dva vektory v rovine lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby boli nekolineárne.

Maximálny počet lineárne nezávislých vektorov v rovine je teda dva.

Vektory sú tzv koplanárny , ak ležia v rovnakej rovine alebo sú rovnobežné s rovnakou rovinou. Nasledujúce tvrdenia platia pre priestorové vektory.

10. Každé štyri vektory priestoru sú lineárne závislé.

20. Ak je počet týchto vektorov v priestore viac ako štyri, potom sú tiež lineárne závislé.

tridsať . Aby boli tri vektory lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby boli nekoplanárne.

Maximálny počet lineárne nezávislých vektorov v priestore je teda tri.

Nazýva sa akýkoľvek maximálny subsystém lineárne nezávislých vektorov, prostredníctvom ktorého je vyjadrený ktorýkoľvek vektor tohto systému základ ten, o ktorom sa uvažuje vektorové systémy . Je ľahké dospieť k záveru, že základňa v rovine pozostáva z dvoch nekolineárnych vektorov a základňa v priestore pozostáva z troch nekoplanárnych vektorov. Počet bázových vektorov sa nazýva hodnosť vektorové systémy. Koeficienty expanzie vektora na základné vektory sa nazývajú vektorové súradnice v tomto základe.

Nech vektory tvoria základ a nech , potom sú súradnicami vektora v základe čísla λ 1, λ 2, λ 3. V tomto prípade napíšte Dá sa ukázať, že rozklad vektora v základe je jedinečný . Hlavným významom základu je, že lineárne operácie na vektoroch sa stávajú obyčajnými lineárnymi operáciami na číslach - súradniciach týchto vektorov. Pomocou vlastností lineárnych operácií s vektormi môžeme dokázať nasledujúcu vetu.

Veta. Keď sa pridajú dva vektory, pridajú sa ich zodpovedajúce súradnice. Keď sa vektor vynásobí číslom, všetky jeho súradnice sa vynásobia týmto číslom.

Teda ak a , Potom , Kde , a kde , λ je určité číslo.

Typicky sa množina všetkých vektorov v rovine, redukovaná na spoločný počiatok, so zavedenými lineárnymi operáciami, označí V 2 a množina všetkých vektorov v priestore, redukovaná na spoločný počiatok, je označená V 3. Množiny V 2 a V 3 sa nazývajú priestory geometrických vektorov.

Uhol medzi vektormi a nazýva sa najmenší uhol (), o ktorý sa musí jeden z vektorov otočiť, kým sa nezhoduje s druhým po privedení týchto vektorov do spoločného začiatku.

Skalárny súčin dva vektory je číslo rovné súčinu modulov týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi. Skalárny súčin vektorov a označuje sa , alebo

Ak je uhol medzi vektormi a rovný , potom

Z geometrického hľadiska sa skalárny súčin vektorov rovná súčinu modulu jedného vektora a priemetu druhého vektora naň. Z rovnosti (2.2) vyplýva, že

Odtiaľ podmienka ortogonality dvoch vektorov: dva vektory A sú ortogonálne práve vtedy, ak sa ich skalárny súčin rovná nule, t.j. .

Bodový súčin vektorov nie je lineárna operácia, pretože jej výsledkom je číslo, nie vektor.

Vlastnosti skalárneho súčinu.

1º. – komutatívnosť.

2º. – distribúcia.

3º. – asociativita vzhľadom na číselný faktor.

4º. - vlastnosť skalárneho štvorca.

Z vlastnosti 4º vyplýva definícia vektorová dĺžka :

Nech je daný základ v priestore V 3, kde vektory sú jednotkové vektory (nazývajú sa jednotkové vektory), smer každého z nich sa zhoduje s kladným smerom súradnicových osí Ox, Oy, Oz pravouhlej karteziánskej súradnice. systému.

Rozšírme priestorový vektor V 3 podľa tohto základu (obrázok 2.15):

Vektory sa nazývajú vektorové komponenty pozdĺž súradnicových osí alebo komponenty, čísla a x, ay, az– pravouhlé karteziánske súradnice vektora A. Smer vektora je určený uhlami α, β, γ, ktoré zviera so súradnicami. Kosínus týchto uhlov sa nazýva smerový vektor. Potom sú smerové kosínusy určené vzorcami:

Je ľahké to ukázať

Vyjadrime skalárny súčin v súradnicovom tvare.

Nechaj to tak. Vynásobením týchto vektorov ako polynómov a zohľadnením toho, že získame výraz na nájdenie bodový produkt v súradnicovom tvare:

tie. skalárny súčin dvoch vektorov sa rovná súčtu párových súčinov rovnomenných súradníc.

Z (2.6) a (2.4) vyplýva vzorec na nájdenie vektorová dĺžka :

Z (2.6) a (2.7) získame vzorec na určenie uhol medzi vektormi:

Trojica vektorov sa nazýva usporiadaná, ak je uvedené, ktorý z nich sa považuje za prvý, ktorý sa považuje za druhý a ktorý sa považuje za tretí.

Objednané tri vektory volal správny , ak po ich privedení do spoločného začiatku z konca tretieho vektora sa najkratšia zákruta z prvého na druhý vektor urobí proti smeru hodinových ručičiek. V opačnom prípade sa nazýva trojica vektorov vľavo . Napríklad na obrázku 2.15 tvoria vektory , , pravú trojicu vektorov a vektory , tvoria ľavú trojicu vektorov.

Podobným spôsobom sa zavádza pojem pravý a ľavý súradnicový systém v trojrozmernom priestore.

Vektorové umelecké dielo vektor po vektore je vektor (iný zápis), ktorý:

1) má dĺžku , kde je uhol medzi vektormi a ;

2) kolmo na vektory a (), t.j. je kolmá na rovinu, v ktorej sú vektory a ;

Podľa definície nájdeme vektorový súčin vektorov súradnicových jednotiek , , :

Ak , , potom súradnice vektorového súčinu vektora a vektora sú určené vzorcom:

Z definície vyplýva geometrický význam vektorového umenia : veľkosť vektora sa rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a .

Vlastnosti vektorového produktu:

4 0 . , ak sú vektory a kolineárne, alebo jeden z týchto vektorov je nula.

Príklad 3 Rovnobežník je postavený na vektoroch a , kde , , . Vypočítajte dĺžku uhlopriečok tohto rovnobežníka, uhol medzi uhlopriečkami a plochou rovnobežníka.

Riešenie. Konštrukcia vektorov a je znázornená na obrázku 2.16, konštrukcia rovnobežníka na týchto vektoroch je znázornená na obrázku 2.17.

Urobme analytické riešenie tohto problému. Vyjadrime vektory definujúce uhlopriečky zostrojeného rovnobežníka cez vektory a , a potom cez a . Nájdeme,. Ďalej nájdeme dĺžky uhlopriečok rovnobežníka ako dĺžky zostrojených vektorov

Uhol medzi uhlopriečkami rovnobežníka je označený . Potom zo vzorca pre skalárny súčin vektorov máme:

Preto, .

Pomocou vlastností vektorového produktu vypočítame plochu rovnobežníka:

Nech sú dané tri vektory , a ,. Predstavme si, že vektor sa vektorovo vynásobí a vektor a výsledný vektor sa skalárne vynásobí vektorom, čím sa určí číslo. Nazýva sa vektorovo-skalárny resp zmiešaná práca tri vektory a . Označuje sa alebo.

Poďme zistiť geometrický význam zmiešaného produktu (Obrázok 2.18). Nech , , nie je koplanárny. Na týchto vektoroch postavme rovnobežnosten ako na hranách. Krížový produkt je vektor, ktorého modul sa rovná ploche rovnobežníka (základňa rovnobežnostena), postavený na vektoroch a je nasmerovaný kolmo na rovinu rovnobežníka.

Bodový súčin (rovnajúci sa súčinu modulu vektora a projekcie na ). Výška postaveného rovnobežnostena je absolútnou hodnotou tohto priemetu. V dôsledku toho sa absolútna hodnota zmiešaného produktu troch vektorov rovná objemu kvádra postaveného na vektoroch , a , t.j. .

Odtiaľ je objem trojuholníkovej pyramídy postavený na vektoroch a vypočíta sa podľa vzorca.

Všimnime si ešte niečo vlastnosti zmiešaného produktu vektory.

1 o. Znamienko súčinu je kladné, ak vektory , , a tvoria systém s rovnakým názvom ako hlavný, a v opačnom prípade záporné.

Naozaj skalárny súčin je kladný, ak je uhol medzi a je ostrý, a záporný, ak je uhol tupý. Pri ostrom uhle medzi a sú vektory a umiestnené na jednej strane vzhľadom na základňu rovnobežnostena, a preto od konca vektora bude rotácia od do viditeľná rovnakým spôsobom ako od konca vektora. , t.j. v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek).

V tupom uhle sú vektory aj umiestnené na rôznych stranách vzhľadom na rovinu rovnobežníka ležiaceho na základni rovnobežnostenu, a preto je od konca vektora viditeľná rotácia od do v zápornom smere ( v smere hodinových ručičiek).

2 o Zmiešaný produkt sa nemení, keď sú jeho faktory kruhovo preskupené: .

3 o Keď sa preusporiadajú ľubovoľné dva vektory, zmiešaný produkt zmení iba znamienko. Napríklad, , . , . - neznáme systémy.

systém(3.1) sa nazýva homogénne , ak sú všetci členovia voľní . systém (3.1) sa nazýva heterogénne , ak je aspoň jeden z voľných členov .

Systémové riešenie sa nazýva množina čísel, pri ich dosadení do rovníc systému namiesto zodpovedajúcich neznámych sa každá rovnica systému zmení na identitu. Systém, ktorý nemá riešenie, sa nazýva nezlučiteľné, alebo kontroverzný . Systém, ktorý má aspoň jedno riešenie, sa nazýva kĺb .

Kĺbový systém je tzv istý , ak má jedinečné riešenie. Ak má konzistentný systém viac riešení, potom sa nazýva neistý . Homogénny systém je vždy konzistentný, pretože má aspoň nulové riešenie. Výraz pre neznáme, z ktorého možno získať konkrétne riešenie systému, sa nazýva všeobecné rozhodnutie , a každé konkrétne riešenie systému je jeho súkromné ​​riešenie . Dva systémy s rovnakými neznámymi ekvivalent (ekvivalent ), ak každé riešenie jedného z nich je riešením druhého alebo sú oba systémy nekonzistentné.

Uvažujme o metódach riešenia sústav lineárnych rovníc.

Jednou z hlavných metód riešenia sústav lineárnych rovníc je Gaussova metóda, alebo sekvenčná metóda vylúčenie neznámych. Podstatou tejto metódy je redukcia sústavy lineárnych rovníc do stupňovitej formy. V tomto prípade je potrebné vykonať nasledujúce rovnice: elementárne transformácie :

1. Preusporiadanie rovníc sústavy.

2. Pridanie ďalšej rovnice do jednej rovnice.

3. Vynásobenie oboch strán rovnice číslom iným ako nula.

V dôsledku toho bude mať systém podobu:

Pokračujúc v tomto procese ďalej, odstraňujeme neznámu zo všetkých rovníc, počnúc treťou. Za týmto účelom vynásobte druhú rovnicu číslami a pridajte k 3., ..., až -tej rovnici systému. Nasledujúce kroky Gaussovej metódy sa vykonávajú podobne. Ak v dôsledku transformácií získame identickú rovnicu, potom ju zo systému vymažeme. Ak sa v niektorom kroku Gaussovej metódy získa rovnica v tvare:

vtedy je uvažovaný systém nekonzistentný a jeho ďalšie riešenie zaniká. Ak sa pri vykonávaní elementárnych transformácií nenájde rovnica tvaru (3.2), systém (3.1) bude transformovaný do stupňovitej formy v maximálne - krokoch:

Na získanie konkrétneho riešenia systému bude potrebné priradiť konkrétne hodnoty voľným premenným v (3.4).

Všimnite si, že keďže v Gaussovej metóde sa všetky transformácie vykonávajú na koeficientoch neznámych rovníc a voľných členov, v praxi sa táto metóda zvyčajne aplikuje na maticu zloženú z koeficientov neznámych a stĺpca voľných členov. Táto matica sa nazýva rozšírená. Pomocou elementárnych transformácií sa táto matica redukuje na stupňovitú formu. Potom sa z výslednej matice zrekonštruuje systém a aplikujú sa naň všetky predchádzajúce úvahy.

Príklad 1 Vyriešte systém:

Riešenie. Vytvoríme rozšírenú maticu a zredukujeme ju na stupňovitú formu:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - druhý riadok bol vynásobený a tretí riadok prečiarknutý.

Pomocou súradníc sa určí poloha objektu na zemeguli. Súradnice sú označené zemepisnou šírkou a dĺžkou. Zemepisné šírky sa merajú od rovníka na oboch stranách. Na severnej pologuli sú zemepisné šírky kladné, na južnej pologuli záporné. Zemepisná dĺžka sa meria od nultého poludníka buď na východ alebo na západ, pričom sa získa východná alebo západná dĺžka.

Podľa všeobecne uznávanej pozície sa za nultý poludník považuje ten, ktorý prechádza cez staré observatórium Greenwich v Greenwichi. Geografické súradnice miesta je možné získať pomocou GPS navigátora. Toto zariadenie prijíma signály satelitného polohovacieho systému v súradnicovom systéme WGS-84, jednotnom pre celý svet.

Modely navigátorov sa líšia výrobcom, funkčnosťou a rozhraním. V súčasnosti sú v niektorých modeloch mobilných telefónov dostupné aj vstavané GPS navigácie. Ale každý model môže zaznamenať a uložiť súradnice bodu.

Vzdialenosť medzi súradnicami GPS

Na riešenie praktických a teoretických problémov v niektorých odvetviach je potrebné vedieť určiť vzdialenosti medzi bodmi podľa ich súradníc. Môžete to urobiť niekoľkými spôsobmi. Kanonická forma vyjadrenia geografických súradníc: stupne, minúty, sekundy.

Môžete napríklad určiť vzdialenosť medzi týmito súradnicami: bod č. 1 - zemepisná šírka 55°45′07″ N, zemepisná dĺžka 37°36′56″ V; bod č. 2 – zemepisná šírka 58°00′02″ s. š., zemepisná dĺžka 102°39′42″ vd.

Najjednoduchší spôsob je použiť kalkulačku na výpočet dĺžky medzi dvoma bodmi. Vo vyhľadávači prehliadača musíte nastaviť nasledujúce parametre vyhľadávania: online - na výpočet vzdialenosti medzi dvoma súradnicami. V online kalkulačke sa hodnoty zemepisnej šírky a dĺžky zadávajú do polí dopytu pre prvú a druhú súradnicu. Pri výpočte online kalkulačka dala výsledok - 3 800 619 m.

Ďalšia metóda je náročnejšia na prácu, ale aj vizuálnejšia. Musíte použiť akýkoľvek dostupný mapovací alebo navigačný program. Medzi programy, v ktorých môžete vytvárať body pomocou súradníc a merať vzdialenosti medzi nimi, patria tieto aplikácie: BaseCamp (moderná obdoba programu MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Všetky vyššie uvedené programy sú dostupné pre každého používateľa siete. Ak chcete napríklad vypočítať vzdialenosť medzi dvoma súradnicami v aplikácii Google Earth, musíte vytvoriť dva štítky označujúce súradnice prvého a druhého bodu. Potom pomocou nástroja „Pravítko“ musíte spojiť prvú a druhú značku čiarou, program automaticky zobrazí výsledok merania a zobrazí cestu na satelitnom obrázku Zeme.

V prípade vyššie uvedeného príkladu program Google Earth vrátil výsledok - dĺžka vzdialenosti medzi bodom č.1 a bodom č.2 je 3 817 353 m.

Prečo je chyba pri určovaní vzdialenosti

Všetky výpočty rozsahu medzi súradnicami sú založené na výpočte dĺžky oblúka. Polomer Zeme sa podieľa na výpočte dĺžky oblúka. Ale keďže tvar Zeme je blízky sploštenému elipsoidu, polomer Zeme sa v určitých bodoch mení. Na výpočet vzdialenosti medzi súradnicami sa berie priemerná hodnota polomeru Zeme, ktorá dáva chybu v meraní. Čím väčšia je meraná vzdialenosť, tým väčšia je chyba.