Имеется много случаев, когда масса интересующего нас тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу и др.).
Наша задача - найти закон движения такого тела. Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости телом. Пусть в некоторый момент времени t масса движущегося тела А равна т , а присоединяемая (или отделяемая) масса имеет скорость относительно данного тела.
Введем вспомогательную инерциальную K - систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела А в данный момент времени t . Это значит, что в момент t тело А покоится в K - системе.
Пусть далее за промежуток времени от t до t + dt тело А приобретает в K - системе импульс . Этот импульс тело А получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы δт , которая приносит (уносит) импульс , и, во-вторых, вследствие действия силы со стороны окружающих тел или силового поля. Таким образом, можно записать, что
,
где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус - отделению.
Оба эти случая можно объединить, представив в виде приращения dm массы тела А (действительно, в случае присоединения массы , а в случае отделения . Тогда предыдущее уравнение примет вид
Поделив это выражение на dt , получим
, (6.8)
где - скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.
Это уравнение является основным уравнением динамики материальной точки с переменной массой. Его называют уравнением Мещерского. Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе. Заметим, что если система отсчета неинерциальна, то под силой следует понимать результирующую как сил взаимодействия данного тела с окружающими телами, так и сил инерции.
Последний член уравнения (6.8) носит название реактивной силы :
.
Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется то, , и вектор совпадает по направлению с вектором ; если же масса отделяется, то , и вектор противоположен вектору .
Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева - произведение массы тела на ускорение, справа - действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы мы не можем внести массу т под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, ибо
.
Обратим внимание на два частных случая.
1. Если , т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то и уравнение (6.8) принимает вид
, (6.9)
где m (t ) - масса тела в данный момент времени.
Это уравнение определяет, например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок. (см. Пример 6.4, пункт 1-й).
2. Если , т. е. присоединяемая масса неподвижна в интересующей нас сиcтеме отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (6.8) принимает другой вид
,
. (6.10)
Иначе говоря, в этом частном случае - и только этом действие силы определяет изменение импульса тела с переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера (см. Пример 6.4, пункт 2-й).
Задача 6.4.
Платформа в момент t = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы тяги . Пренебрегая трением в осях, найти зависимость от времени скорости платформы, если:
1) она нагружена песком, который высыпается через отверстия в дне с постоянной скоростью μ (кг/с), а в момент t = 0 масса платформы с песком равна т 0 ;
2) на платформу, масса которой т 0 , в момент t = 0 начинает высыпаться песок из неподвижного бункера так, что скорость погрузки постоянна и равна μ (кг/с).
Решение. 1. В этом случае реактивная сила равна нулю, и уравнение Мещерского (6.8) имеет вид
,
.
.
2. В данном случае реактивная сила , поэтому согласно уравнению (6.8)
.
.
Проинтегрировав это уравнение, получим
.
Полученные в обоих случаях выражения справедливы, разумеется, лишь в процессе разгрузки (или погрузки) платформы.
Рассмотрим еще один пример на применение уравнения Мещерского.
Задача 6.5
Ракета движется в инерциальной К - системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью . Найти зависимость скорости ракеты от ее массы т , если в момент старта ее масса была равна т 0 .
В данном случае и из уравнения (6.8) следует
Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим
, (*)
где знак минус показывает, что вектор (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору . Отсюда, между прочим, видно, что скорость ракеты в данном случае ( = const) не зависит от времени сгорания топлива: определяется только отношением начальной массы ракеты т 0 к оставшейся массе т .
Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в интересующей нас инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость , то из закона сохранения импульса для системы ракета - горючее следует
где - скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда
. (**)
Скорость ракеты в этом случае оказывается меньше, чем в предыдущем (при одинаковых значениях отношения т 0 / т ). В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости от т 0 / т в обоих случаях. С ростом т 0 / т в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость ракеты согласно (**) растет неограниченно, во втором же (когда вещество отделяется одновременно) скорость согласно (**) стремится к пределу, равному - .
6.3 Центр инерции. Ц – система
Центр инерции
. В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С
- центр инерции
, или центр масс
, - которая обладает рядом интересных и важных свойств. Ее положение относительно начала О
данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором , определяемым следующей формулой:
(6.11)
где т i и - масса и радиус-вектор i -й частицы, т - масса всей системы (рис. 6.4).
Следует заметить, что центр инерции системы совпадает с ее центром тяжести. Правда, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным.
Найдем теперь скорость центра инерции в данной системе отсчета. Продифференцировав (6.11) по времени, получим
(6.12)
Если скорость центра инерции равна нулю, то говорят, что система как целое покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя отдельной частицы. Скорость же приобретает смысл скорости движения системы как целого.
Запишем (6.12) в виде
где - полный импульс системы.
Продифференцировав это выражение по времени и учтя (6.4), получим уравнение движения центра инерции:
(6.14)
где - результирующая всех внешних сил.
Таким образом, если на систему действуют внешние силы (и она в общем случае совершает любое сложное движение), одна ее точка - центр инерции - движется так, как если бы все внешние силы были приложены к этой точке, и масса всей системы была бы сосредоточена в этой точке. При этом важно заметить, что движение центра инерции совершенно не зависит от точек приложения данных внешних сил.
Уравнение (6.14) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого прямо пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы. Напомним, что в неинерциальных системах отсчета результирующая всех внешних сил включает в себя как силы взаимодействия с окружающими телами, так и силы инерции.
Рассмотрим три примера на движение центра инерции системы.
Задача 6.6
Покажем, как можно иначе решить задачу с человеком на плоту (см. пример 6.3), воспользовавшись поведением центра инерции этой системы.
Так как сопротивление воды пренебрежимо мало, то результирующая всех внешних сил, действующих на систему человек - плот, равна нулю. А это значит, что положение центра инерции данной системы в процессе движения человека (и плота) меняться не будет, т. е.
,
где и - радиус-векторы, характеризующие положения центров инерции человека и плота относительно некоторой точки воды. Из этого равенства найдем связь между приращениями векторов и :
.
Имея в виду, что приращения и представляют собой перемещения человека и плота относительно воды, причем , найдем перемещение плота:
Задача 6.7
Человек прыгает с вышки в воду. Движение прыгуна в общем случае имеет весьма сложный характер. Однако если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то можно сразу утверждать, что центр инерции прыгуна движется по параболе, как материальная точка, на которую действует постоянная сила , где т - масса человека.
Задача 6.8
Замкнутая цепочка, соединенная нитью с концом оси центробежной машины, равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω (рис. 6.5). При этом нить образует угол ξ с вертикалью. Как ведет себя центр инерции цепочки?
Прежде всего ясно, что при равномерном вращении центр инерции цепочки не движется в вертикальном направлении. Это значит, что вертикальная составляющая силы натяжения нити компенсирует силу тяжести (см. рис. 6.5справа). Горизонтальная же составляющая силы натяжения постоянна по модулю и все время направлена к оси вращения. Отсюда следует, что центр инерции цепочки - точка С
– движется по горизонтальной окружности радиус которой ρ
легко найти с помощью формулы (6.14), записав ее в виде
,
где т - масса цепочки. При этом точка С все время находится между осью вращения и нитью, как показано на рис. 6.5
Ц - система. В тех часто встречающихся случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы и не интересует движение этой системы как целого, наиболее целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой центр инерции покоится. Это позволяет значительно упростить и анализ явления, и соответствующие расчеты.
Систему отсчета, жестко связанную с центром инерции данной системы частиц и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра инерции, или, кратко, Ц - системой. Отличительной особенностью Ц - системы является то, что полный импульс системы частиц в ней равен нулю - это непосредственно следует из формулы (6.13). Другими словами, любая система частиц как целое покоится в своей Ц - системе.
Для замкнутой системы частиц ее Ц - система является инерциальной, для незамкнутой - в общем случае неинерциальной.
Найдем связь между значениями механической энергии системы в K - и Ц - системах отсчета. Начнем с кинетической энергии системы Т . Скорость i - й частицы в K - системе можно представить как
,
где - скорость этой частицы в Ц - системе, а - скорость Ц - системы относительно K - системы отсчета.
Тогда можно записать:
.
Так как в Ц – системе , то предыдущее выражение примет вид
, (6.15)
где 
- суммарная кинетическая энергия частиц в Ц
- системе, m
- масса всей системы, р
- ее полный импульс в К
- системе отсчета.
Таким образом, кинетическая энергия системы частиц складывается из суммарной кинетической энергии Т в Ц - системе и кинетической энергии, связанной с движением системы частиц как целого . Это важный вывод, и он неоднократно будет использоваться в дальнейшем (в частности, при изучении динамики твердого тела).
Из формулы (6.15) следует, что кинетическая энергия системы частиц минимальна в Ц – системе - в этом еще одна особенность Ц - системы. Действительно, в Ц - системе и поэтому в (6.15) остается только Т .
Теперь перейдем к полной механической энергии Е . Так как собственная потенциальная энергия системы U зависит только от конфигурации системы, то значение U одинаково во всех системах отсчета. Добавив U слева и справа равенства (6.15), получим формулу преобразования полной механической энергии при переходе от K - к Ц - системе:
. (6.16)
часто называют внутренней механической энергией системы.
Задача 6.9
На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие шайбы, каждая массы т была равна только энергии вращательного движения.
Если система частиц замкнута и в ней происходят процессы, связанные с изменением полной механической энергии, то из (6.16) следует, что , т. е. приращение полной механической энергии относительно произвольной инерциальной системы отсчета равно приращению внутренней механической энергии. При этом кинетическая энергия, обусловленная движением системы частиц как целого, не меняется, ибо для замкнутой системы = const .
В частности, если замкнутая система консервативна, то ее полная механическая энергия сохраняется во всех инерциальных системах отсчета. Этот вывод находится в полном соответствии с принципом относительности Галилея.
Система из двух частиц. Пусть массы частиц равны т 1 и т 2 , а их скорости в K - системе отсчета и соответственно. Найдем выражения, определяющие их импульсы и суммарную кинетическую энергию в
Теперь обратимся к кинетической энергии. Суммарная кинетическая энергия обеих частиц в Ц – системе
Так как согласно (4.18) 
, то
. (6.21)
Если частицы взаимодействуют друг с другом, то полная механическая энергия обеих частиц в Ц – системе
(6.22)
где U - потенциальная энергия взаимодействия данных частиц.
Полученные формулы играют большую роль при изучении столкновения частиц.
Д. ф.-м. н. Б.Л.Воронов
Задача 1. Однородная неупругая цепь длиной L и массой М перекинута через блок. Часть цепи лежит на столе высотой h, а часть на полу. Найти скорость равномерного движения звеньев цепи (рис. 1).
Задача 2. Однородная нерастяжимая цепь подвешена на нити так, что нижний конец ее касается крышки стола. Нить пережигают. Найти силу давления цепочки на стол в тот момент, когда над ним находится часть цепи длиной h. Масса цепи – М, ее длина – L, удар каждого звена считать абсолютно неупругим (рис. 2).
Задача 3. С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v (рис. 3)? Масса змеи – M, ее длина – L.
 |
 |
Начнем с хорошо известной ситуации. Пусть тело можно считать материальной точкой (например, можно пренебречь его структурой и размерами или вести речь только о центре масс тела) либо все части протяженного тела имеют одну и ту же скорость v. Тогда 2-й закон Ньютона, в теоретической механике чаще говорят – уравнения движения, для такого тела имеет вид:
где m – неизменная масса тела, F – действующая на тело внешняя сила. В общем случае протяженных тел отдельные части тела движутся каждая со своей скоростью, и описание движения всех частей с учетом их взаимодействия резко усложняется.
Однако бывают случаи, когда движение некоторых частей составного тела можно описать сравнительно просто. Одним из таких случаев является случай движения тел переменной массы. Пусть имеется составная система и пусть в ней можно выделить некоторую часть, подсистему, движущуюся со скоростью v, причем состав ее меняется определенным образом. Будем называть эту подсистему телом переменной массы, если выполнены следующие условия. В каждый момент времени можно считать, что это тело либо является материальной точкой, либо все его части имеют одинаковую скорость v. С течением времени от тела непрерывно отделяются некоторые (бесконечно) малые его части, причем каждая со своей независимой скоростью v"; либо, наоборот, к телу непрерывно добавляются новые малые части, которые до «прилипания» имели свою скорость v" (возможно и то и другое). Таким образом, при движении тела меняется не только его скорость v = v(t), но и масса m = m(t), причем известна скорость изменения массы
Случай <0 означает, что за промежуток времени t t + dt от тела отделяются какие-то части массой –dm; случай Случай >0 означает, что за тот же промежуток времени к телу добавляются какие-то части массой dm. Примером первого случая являются ракета и поливальная машина, примером второго случая – снежная лавина. Мы ограничимся ситуациями, когда все отделяющиеся или добавляющиеся части имеют в каждый момент времени одну и ту же скорость v" = v"(t), следовательно, одну и ту же скорость u = v" – v относительно тела. Эту скорость u = u(t) называют относительной скоростью. Если она известна наряду с (например, в случае ракеты она определяется приготовлением, в случае снежной лавины v" = 0, стало быть, u = –v), то говорят о движении тела переменной массы.2-й закон Ньютона для тел переменной массы имеет вид:
где F – суммарная внешняя сила, которая действует в данный момент времени как на тело (переменной массы m), так и на его отделяющиеся или добавляющиеся части (массы –dm или dm соответственно). Эту тонкость надо постоянно иметь в виду. Может случиться, что вся внешняя сила или конечная ее составляющая приложена именно к этим частям: под действием конечной внешней силы (бесконечно) малая масса (–dm или dm) за (бесконечно) малый промежуток времени t t + dt меняет свою скорость на конечную величину, от v до v" или от v" до v, испытывая (бесконечно) большое ускорение. Именно этот случай реализуется в приводимых ниже задачах. Конечно, может случиться, что изменение скорости отделяющихся или добавляющихся частей обеспечивается внутренними силами. Так обстоит дело, например, в случае космической ракеты или снежной лавины.
2-й закон Ньютона для тел переменной массы можно переписать в эквивалентной форме (особенно удобной во втором случае):
Отличие от привычного случая постоянной массы состоит в том, что m = m(t) является теперь известной функцией времени, а к внешней силе F добавляется реактивная сила
Дадим вывод 2-го закона Ньютона для тел переменной массы (при первом чтении этот абзац можно пропустить). Он следует из 2-го закона Ньютона для любой, в том числе составной системы, в следующей общей форме:
т.е. приращение dp полного импульса p системы за интервал времени t t + dt равно импульсу Fdt действующей на систему внешней силы F. Системой в рассматриваемом интервале времени t t + dt является тело переменной массы вместе с отделяющимися или добавляющимися частями. В любом случае (
>0 или <0) изменение dp импульса p за промежуток времени t t + dt дается формулой:dp = p(t + dt) – p(t) = (m + dm)(v + dv) – dmv" – mv.
Вывод этой формулы предоставляем читателю в качестве упражнения. Укажем лишь, что первое слагаемое справа относится ко времени t + dt, третье слагаемое – ко времени t, а второе слагаемое (–dmv") относится к моменту t + dt в случае отделяющихся частей (массой –dm > 0,
<0) и к моменту t в случае добавляющихся частей (массой dm, >0). Раскрывая правую частьdp = mdv – dm (v" – v) + dmdv = mdv – dmu + dmdv
и приравнивая ее Fdt, имеем:
Деля обе части последнего равенства на dt, переходя к переделу dt 0 и отбрасывая стремящееся к нулю слагаемое
получаем окончательно:
Из вывода следует указанное выше содержание понятия внешней силы F.
Теперь перейдем к решению задач.
Задача 1.Возьмем в качестве тела переменной массы лежащий на столе участок цепи. Цепь считается нерастяжимой, толщина цепи – пренебрежимо малой, поэтому можно считать, что весь этот участок занимает пренебрежимо малый объем (сосредоточен в точке) в основании левого вертикального участка цепи. Движение носит одномерный характер, вдоль вертикальной оси y (начало отсчета на полу), поэтому достаточно рассматривать только y-компоненту 2-го закона Ньютона (значок «y» для у-компонент векторов v, u, F в дальнейшем опускаем):
(прочие компоненты уравнений движения имеют вид 0 = 0). Именно это уравнение должно определить скорость равномерного движения вертикальных звеньев цепи, поскольку они отделяются от нашего тела.
В каждый момент времени все звенья рассматриваемого участка свободно, без натяжения, лежат на столе, v = 0, соответственно
, сила тяжести компенсируется силой реакции стола. Отделяющееся первое сверху звено, лежащее в основании вертикального участка, уходит вверх с постоянной во времени вертикальной скоростью v" > 0. Эта скорость и является искомой. Относительная скорость u = v" – v = v". Масса тела m = l, где l – длина рассматриваемого участка, – линейная плотность цепи. Длина l, а значит, и масса m, уменьшаются за счет уходящих вверх звеньев; вследствие нерастяжимости цеписоответственно
Остается определить вертикальную компоненту F внешней силы F. Она равна натяжению Th левой вертикальной части цепи на нижнем ее конце, находящемся на высоте y = h. Приложена эта сила к отделяющемуся от тела первому сверху звену, тогда как все звенья тела лежат свободно (см. выше о внешней силе F). Th в свою очередь определяется условиями движения вертикальных участков цепи. Если они движутся равномерно, как это и принимается в условии задачи, и, кроме того, цепь справа ложится на пол свободно, т.е. натяжение T0 правого вертикального участка на нижнем его конце, у пола, на высоте y = 0, равно нулю (T0 = 0), то Th равно разности веса Pправ правого участка и веса Pлев левого вертикального участков цепи: Th = Pправ – Pлев.
Особо следует сказать о динамике движения тела, масса которого изменяется за счет присоединения или отделения частиц. Например, масса падающей дождевой капли изменяется вследствие испарения молекул или, наоборот, их конденсации, масса ракеты или самолета изменяется за счет выбрасывания продуктов сгорания; в принципе, к телам с изменяющейся массой можно отнести автомобиль, тепловоз и т.д.
2. Движение тела переменной массы в общем случае может изменяться, во-первых, за счет воздействия внешних сил, во-вторых, за счет взаимодействия тела с отделяющимися (или присоединяющимися) частицами. У одних тел решающую роль в изменении скорости играют внешние силы (автомобиль, тепловоз, винтовой самолет), у других – силы, возникающие при взаимодействии с отделяющимися частицами (реактивный самолет, ракета).
Закономерности движения тел переменной массы были подробно исследованы И.В.Мещерским и К.Э.Циолковским.
Силы, возникающие при отделении (или присоединении) частиц, называются реактивными.
Можно
доказать в самом общем случае, что
величина и направление реактивной силы,
возникающей при отделении (или
присоединении) частиц, зависит: 1) от
быстроты изменения массы тела
(в случае присоединения частиц масса
тела увеличивается, поэтому
>0,
в случае отделения частиц масса тела
уменьшается, поэтому
<0);
2)
от величины и направления скорости
(относительно тела), с которой частицы
покидают тело или присоединяются к
нему:
=
.
(10.1)
Как
видно из этой формулы, реактивная сила,
действующая на тело,
совпадает
по направлению с направлением
,
если частицы
присоединяются , и противоположна этой относительной скорости,
если частицы отделяются.
Поскольку на тело переменной массы всегда действует не только реактивная сила, но также и внешние силы (например, на ракету действует сила притяжения к Земле, Солнцу, сопротивление атмосферы и т.д.), ускорение такого тела будет определяться результирующей внешних и реактивных сил:
, (10.2)
здесь
- масса тела в данный момент времени;
- внешняя сила;
-
реактивная сила
Учитывая (10.1), соотношение (10.2) , можно переписать:
.
(10.3)
Последнее соотношение носит название уравнения Мещерского. Оно позволяет решать ряд важных прикладных задач механики.
11 Третий закон ньютона
1
.
Опыт показывает, что воздействие одного
тела на другое никогда не является
односторонним. Если тело 1 действует на
тело 2 с силой
,
то, в свою очередь, тело 2 действует на
тело 1 с силой
,
причем силы взаимодействия равны по
величине и противоположны по направлению
(рис.10):
=
-
.
(11.1)
В этом и заключается суть третьего закона Ньютона: силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению.
2. Одну из сил взаимодействия обычно называют силой «действия», другую – силой «противодействия». Не следует, однако, думать, что «действие» и «противодействие» чем-либо принципиально отличаются друг от друга. Обе силы совершенно равноправны и имеют одинаковую природу. Так, если «действующая» сила обусловлена упругой деформацией, то сила «противодействия » обусловлена также деформацией другого тела, с которым данное тело взаимодействует, если сила «действия» имеет гравитационное происхождение, то «противодействие» вызвано той же причиной и т.д. Любую из сил мы вправе назвать «действующей» и любую – «противодействующей».
Изучая движение какого-либо тела, мы обычно указываем только те силы, которые действуют на это тело, и отвлекаемся от сил, приложенных к другим телам. Но эти силы существуют, и забывать о них, вообще говоря, не следует. Они позволяют лучше понять происхождение той или иной силы. Следует всегда помнить, что за каждой силой стоит реальное тело, с которым данное тело взаимодействует. Указывая силу, мы тем самым всегда указываем на два тела , которые взаимодействуют друг с другом.
Так как силы действия и противодействия приложены к разным телам, то они не могут уравновесить друг друга.
Если заменить силы в формуле (11.1) в соответствии со вторым законом Ньютона произведениями масс на ускорения, то третий закон Ньютона будет иметь вид:
или
, (11.2)
т.е. ускорения, сообщаемые друг другу взаимодействующими телами, обратно пропорциональны их массам и направлены в противоположные стороны.
Из третьего закона Ньютона непосредственно вытекает одно важное следствие: взаимодействие двух тел не может вызвать их перемещение в одном направлении.
Чтобы оба взаимодействующих тела пришли в движение в одном направлении, необходимо, чтобы на одно из тел или на оба одновременно подействовало третье тело.
ХАРАКТЕРИСТИКА НЕКОТОРЫХ СИЛ,
РАССМАТРИВАЕМЫХ В МЕХАНИКЕ
Дадим краткую характеристику сил, рассматриваемых в механике.
1. Упругая сила – сила, возникающая при деформации тела, т.е. при изменении его формы или объема, обусловленном действием внешни х сил.
Если после прекращения действия внешней силы, вызвавшей деформацию, тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, оно называется упругим. Упругими называются и деформации, возникающие в таком теле. Упругие тела обладают способностью оказывать сопротивление изменению их формы и объема. В таких телах возникают внутренние силы, препятствующие дальнейшему смещению частиц деформируемого тела, в результате чего внешние силы оказываются уравновешенными.
Для упругих деформаций справедлив закон Гука: упругая сила, возникающая при деформации (например, при сжатии или растяжении), пропорциональна величине деформации:
,
(12.1)
величина
смещения (растяжения или сжатия);
проекция
упругой силы на направление смещения.
Знак «минус» означает, что направление упругой силы всегда противоположно направлению смещения частиц тела (рис.11).
-
так называемый коэффициент
упругости
– константа, характеризующая и вещество,
и «геометрию» тела – его форму, размеры
и т.д.
2.
Сила всемирного тяготения
-
сила взаимногопритяжения,
действующая между любыми материальными
телами или частицами,
обусловлена гравитационным взаимодействием материальных тел.
Е
сли
размеры тел малы по сравнению с расстоянием
между ними
(материальные точки) или имеют сферическую форму и однородны, сила тяготения между ними численно равна
, (12.2)
(закон
всемирного тяготения Ньютона), где
и
- массы тел;
- расстояние между телами (в случае шаров
– расстояние между центра-ми шаров);
- гравитационная постоянная.
Так
как размеры обычных тел малы по сравнению
с радиусом Земли и так как Земля по своей
форме близка к шару, силу земного
тяготения, действующую на тело массой
,
можно вычислить по формуле:
, (12.3)
где
- масса Земли;
- расстояние от тела до центра Земли.
3.
Сила тяжести
- отвесная
составляющая силы земного тяготения
(на Луне – лунного тяготения и т.д.).
Сила тяжести во всех точках земной поверхности, кроме полюсов и экватора, не совпадает с силой тяготения по направлению и во всех точках, кроме полюсов, меньше ее по величине.
Объяснение.
Пусть
некоторое тело лежит на поверхности
Земли в точке, находящейся на широте
(рис.12). На тело действует сила тяготения
и реакция опоры
(эта сила обусловленаупругостью
опоры).
Равнодействующая этих сил сообщает
телу центростремительное ускорение
(тело вследствие вращения Земли вокруг
своей оси движется по окружности, лежащей
в плоскости, перпендикулярной земной
оси).Реакция опоры уравновешивает не
силу тяготения
,
а ее составляющую
,
которая и называется силой тяжести.
Как
видно из рис.12, силы
и
не равны по величине и не совпадают по
направлению.
4. Вес тела – это сила, с которой тело давит на горизонтальную опору или натягивает вертикальный подвес.
Причиной возникновения этой силы являются упругие деформации, появляющиеся при взаимодействии тела и опоры (деформации тела и опоры могут быть вызваны действием сил тяготения или каких-либо других сил).
Опыт
показывает, что любое тело оказывается
деформированным,
если оно движется относительно Земли
с ускорением
,не равным
ускорению свободного падения
.
Это ускорение, в частности, может
быть равно нулю , т.е. тело либо покоится относительно Земли, либо равномерно и прямолинейно движется.
Будучи
деформированным, стремясь восстановить
свою первоначальную форму, тело давит
на опору
с вполне определенной силой, которую и
называют весом тела -
.
Численно значение веса может значительно отличаться от числен-ного значения силы тяжести (мы говорим лишь о численных значениях этих сил потому, что они приложены к разным телам!). В одних случаях вес может быть больше силы тяжести (например, в космических кораблях во время разгона), в других – меньше ее (например, в самолетах при «проваливании» в воздушные «ямы»).
Вес тела может быть равен нулю. Это особое состояние , при котором тело не оказывает давления на опору (становится невесомым), называется невесомостью . В этом состоянии тело свободно от деформаций. Единственной силой, которая продолжает действовать на тело в состоянии невесомости, является сила тяготения.
Если тело и опора покоятся относительно Земли, то сила тяжести и вес тела численно равны! Это используется при нахождении силы тяжести тела.
Определив
силу, с которой тело растягивает пружину
неподвижного
динамометра или давит на чашку неподвижных
весов, т.е. его вес
,
мы тем самым найдем и численное значение
силы тяжести. Поэтому, когда задают вес
тела, например,
10
Н, то, в конечном счете, задают его силу
тяжести
=10H.
5.
Давление тела на опору приводит к его
деформации. Будучи деформированной,
опора оказывает действие на
тело.
Это
действие проявляется в возникновении
так называемой реакции
опоры,
которую
принято раскладывать на две составляющие
– нормальную
реакцию опоры
и силу трения
.
Нормальная реакция опоры - это упругая
сила,
действующая со стороны опоры на тело в
направлении, пер-пендикулярном плоскости
соприкосновения тела и опоры (Если тело
подвешено, то реакция подвеса направлена
вдоль
подвеса). Реакция опоры зависит от
степени
деформации
опоры.
Если опора горизонтальна , то нормальная реакция опоры и вес тела являются по отношению друг к другу силами действия и противодействия. Следовательно, определив из условий движения силу, с которой такая опора действует на тело, мы найдем, с какой силой тело давит на опору, т.е. его вес.
Рассмотрим пример.
На
тело, помещенное в кабине лифта (рис.13),
действует сила тяжести
и реакция опоры
.
При движении лифта с ускорением
,
направленным вертикальновверх
,
второй закон динамики для тела запишется
в виде
,
(12.4)
откуда
сила
,
а стало быть, и вес тела
будут равны
(12.5)
При
таком
направлении ускорения (не движения, а
ускорения!) вес тела оказывается больше
силы тяжести (
.
Если ускорение направлено вертикально вниз, то реакция опоры и вес тела оказы-ваются меньше силы тяжести:
.
(12.6)
В
состоянии невесомости вес и реакция
опоры равны нулю, единственной силой,
сообщающей и телу, и опоре ускорение,
будут иметь вид
,
но
.
Следовательно, в состоянии невесомости
тела двигаются с ускорением
=
.
6. Силы трения возникают при движении твердых тел, жидкостей и газов. Различают сухое (или внешнее) и вязкое (или внутреннее) трение. Сухое трение возникает при относительном перемещении соприкасающихся твердых тел, вязкое трение – при движении жидкостей и газов. В зависимости от характера перемещения одного твердого тела по поверхности другого различают трение скольжения и трение качения.
Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого. Направлена эта сила по касательной к плоскости соприкосновения тел в сторону, противоположную направлению относительного движения.
Сила трения качения – сила, возникающая при качении одного тела по поверхности другого.
Сухое трение может возникнуть и между неподвижными телами – так называемое трение покоя.
Сила трения покоя (неполная сила трения) возникает тогда, когда внешняя сила, действующая на тело в плоскости соприкосновения, недостаточна для того, чтобы вызвать его скольжение.
Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению этой внешней силе .
Сила трения покоя максимальна, когда тело находится на грани скольжения.
Численное значение максимальной силы трения покоя определяется из закона Кулона :
, (12.7)
где
- коэффициент, зависящий от свойств
поверхностей соприкосновения и
определяемый экспериментально
(коэффициент
трения);
-
сила нормального
давления опоры на тело
(нормальная реакция опоры).
Если
внешняя сила достигает значения,
чуть-чуть превышающего
,
начинается скольжение.
Силу трения скольжения при малых скоростях движения можно приближенно вычислить по формуле (12.7).
Существенным отличием вязкого трения от сухого является то, что в жидкостях и газах трение покоя отсутствует . Если тело, погруженное в жидкость или газ, покоится, то со стороны жидкости или газа на тело могут действовать только силы, направленные перпендикулярно к поверхности соприкосновения.
Сила вязкого трения зависит от скорости (при небольших скоростях она пропорциональна первой степени скорости, при больших скоростях – более высоким степеням скорости).
13 МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
1. Механический принцип относительности Галилея отвечает на вопрос: одинаково ли протекают механические процессы (при одинаковых условиях) в разных инерциальных системах. Иными словами, влия-ет ли равномерное и прямолинейное движение системы на ход механических процессов, происходящих внутри системы?
Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо сравнить вид основных законов механики в разных инерциальных системах. Если окажется, что законы механики не изменяют своего вида при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то это и будет означать, что механические явления протекают во всех инерциальных системах одинаково.
2. Для того чтобы осуществить переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, мы должны знать правила , по которым осуществляется преобразование координат и времени, а также правила сложения скоростей, ускорений, сил и т.д. Преобразования координат и времени, в основе которых лежат классические представления о пространстве и времени , называются преобразованиями Галилея.
3.
Рассмотрим две инерциальные декартовы
системы координат
и
.
Будем полагать условно, что одна из
систем покоится (система
),
а другая (
)
равномерно и прямолинейно движется
относительно первой со скоростью
.
Из соображений простоты будем считать,
что в начальный момент времени (t
=0
)
начала координат обеих систем и
н
аправления
соответствующих осей совпадают (рис.14)
Движение
системы
происходит вдоль осиX
неподвижной системы без поворота осей
и
(во время движения системы
`
оси
и
,
и
остаютсяпараллельными
друг другу).
Найдем
связь между координатами одной и той
же материальной точки M
в этих двух системах. Пусть положение
точки относительно движущейся системы
в некоторый момент времени определяется
радиус-вектором
,
относительно неподвижной -
(рис.
15), перемещение системы
относительно системы
за промежуток времениt
,
прошедший от начального момента до
рассматриваемого, определяет радиус-вектор
.
По правилам векторного сложения
=
+
(13.1)
Перемещение подвижной системы
=
. (13.2)
Тогда 
=
+
,
Откуда 
=
-
. (13.3)
Спроектировав
все векторы соотношения (13.3) на оси
координат, мы найдем связь между
компонентами векторов
и
:
(Так
как
);
(13.4)
К
этим формулам следует добавить формулу
преобразования времени. Классическая
механика, как уже говорилось, полагает,
что время абсолютно.
Это значит, что показания двух часов,
связанных с системами
и
,
и выверенных (синхронизированных
)
для начального момента, должны быть
одинаковыми
для любых последующих моментов:
. (13.5)
Соотношения (13.3) – (13.5) и называются преобразованиями Галилея.
4 Из преобразований Галилея вытекает закон сложения скоростей в классической механике.
Продифференцируем (13.3) по времени:
,
где
-
скорость точкиотносительно
движущейся системы координат;
- скорость точкиотносительно
«неподвижной» системы.
Механика тел переменной массы -раздел теоретической механики, в котором изучаются движения материальных тел, масса которых изменяется во время движения. Основоположники Механика тел переменной массы - И. В. Мещерский и К. Э. Циолковский. Изменение массы тела (точки) во время движения может обусловливаться отделением (отбрасыванием) частиц или их присоединением (налипанием). Основное векторное дифференциальное уравнение движения точки переменной массы для случая присоединения и отделения частиц (впервые полученное в 1904 Мещерским) имеет вид:
ma=F+F P ,где F P -реактивная сила
Реактивное движение - движение тела, обусловленное отделением от него с некоторой скоростью какой-то его части.
Все виды движения, кроме реактивного, невозможны без наличия внешних для данной системы сил, т. е. без взаимодействия тел данной системы с окружающей средой, а для осуществления реактивного движения не требуется взаимодействия тела с окружающей средой. Первоначально система покоится, т. е. ее полный импульс равен нулю. Когда из системы начинает выбрасываться с некоторой скоростью часть ее массы, то (так как полный импульс замкнутой системы по закону сохранения импульса должен оставаться неизменным) система получает скорость, направленную в противо-положную сторону. Действительно, так как m 1 v 1 +m 2 v 2 =0, то m 1 v 1 =-m 2 v 2 , т. е.
v 2 =-v 1 m 1 /m 2 .
8.Постулаты специальной теории относительности.Преобразования Лоренца и следствия из них:относительность одновременности,промежутков времени и длин.
Специа́льная тео́рия относи́тельности (СТО)- теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения, определяющие их, при скоростях движения, близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей образует общую теорию относительности.
СТО полностью выводится на физическом уровне строгости из трёх постулатов (предположений):
1.Справедлив принцип относительности Эйнштейна - расширение принципа относительности Галилея. (все физ. процессы в ИСО протекают одинаково)
2.Скорость света не зависит от скорости движения источника во всех инерциальных системах отсчёта.
3.Пространство и время однородны, пространство является изотропным.
Преобразованиями Лоренца в физике, в частности в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты (x,y,z,t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Аналогично преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.
Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x", y", z") и моментом времени t" этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K".Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K" движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:
Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x" системы K" происходит процесс длительностью τ0 = t"2 – t"1 (собственное время), где t"1 и t"2 – показания часов в системе K" в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе K будет равна
Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K" (x"1 ≠ x"2) одновременно с точки зрения наблюдателя в K" (t"1 = t"2 = t") происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь
Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности t2 – t1 определяется знаком выражения υ(x"2 – x"1), поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.
Движение некоторых тел сопровождается непрерывным изменением их массы; например, масса движущейся капли может уменьшаться вследствие испарения или, наоборот, увеличиваться при конденсации паров на ее поверхности; масса ракеты изменяется при выбрасывании продуктов сгорания; по той же причине изменяется масса самолета, расходующего для своего движения запасы топлива, и т. д. Изменение массы тел приводит к некоторому усложнению формул, по которым рассчитывается их движение.
Если система выбрасывает часть своей массы в каком-нибудь определенном направлении, то она получает импульс (количество движения) в противоположном направлении. Это есть принцип реактивного движения, который имеет широкое применение; на нем основаны ракетная техника, расчеты реактивных двигателей самолетов и т. д.
Выведем уравнение движения тел с уменьшающейся массой при некоторых упрощающих предположениях. Допустим, что в начальный момент времени тело с массой покоилось относительно некоторой системы отсчета, связанной, например, с Землей. По истечении времени масса тела сделалась равной а скорость За каждый промежуток времени от тела отделяется масса причем будем предполагать, что по окончании процесса отделения каждая из этих элементарных масс имеет одну и ту же конечную скорость и. Далее предположим, что на тело не действуют внешние силы, поэтому выбрасывание массы производится силами взаимодействия между телом и отделяющимися частями его. Эти внутренние силы по третьему закону механики равны по величине и противоположны по направлению. За время масса тела уменьшается на а скорость увеличивается на Сила действующая на массу изменяет ее импульс на величину, равную
Пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получим
Сила действующая на выбрасываемую массу изменяет скорость ее движения от начального значения до конечного и, т. е.
Так как а отделяющаяся масса равна уменьшению массы тела, т. е. то импульс (количество движения, приобретаемое телом за время будет равен
Разность скоростей есть скорость отделяющихся масс относительно самого тела (по абсолютному значению ; для ракеты это есть средняя скорость выбрасываемых продуктов сгорания относительно корпуса ракеты. Так как направлена противоположно скорости то при замене векторного уравнения (1.43) скалярным вместо следует написать - до; тогда
Знак минус означает, что увеличение скорости тела (положительное сопровождается уменьшением массы тела (отрицательное Если дополнительно предположить, что скорость отделяющихся масс относительно самого тела сохраняется в процессе движения постоянной, то уравнение (1.44) легко интегрируется:
Из этой формулы, полученной для ракет выдающимся теоретиком космонавтики Циолковским, следует, что приращение скорости ракеты за конечный промежуток времени определяется
скоростью истечения газов из выходного сопла ракеты и отношением массы сожженного топлива к оставшейся массе ракеты Например, если то для достижения конечной скорости необходимо отношение массы горючего к массе ракеты, равное 89.
Для ракет и реактивных двигателей сила приложенная к корпусу ракеты или двигателя со стороны продуктов сгорания, называется силой тяги. Для ракет с жидким и твердым топливом (не потребляющих атмосферного воздуха) отделяющиеся массы имеют начальную скорость сгорания), равную скорости корпуса ракеты, и конечную спорость (вне ракеты), равную и, поэтому
Например, если а ежесекундный расход топлива равен то сила тяги будет равна 500 000 Н. У воздушно-реактивных двигателей расход топлива мал по сравнению с количеством воздуха, проходящим через двигатель; расчет силы тяги производится по изменению импульса (количества движения) воздуха, прошедшего за секунду через двигатель.
В этих расчетах предполагалось, что внешние силы отсутствуют. Если же на тело с переменноймассой действуют внешние силы (например, притяжение к Земле, сопротивление атмосферы и т. п.), то полное изменение импульса
Loading...