Определение
1. Последовательностьназываетсяубывающей
(невозрастающей
),
если для всех
выполняется неравенство
.
Определение
2. Последовательность
называетсявозрастающей
(неубывающей
),
если для всех
выполняется неравенство
.
Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют такжестрого монотонными последовательностями.
Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.
Пример
1. Последовательность
возрастает,не
убывает,
убывает,
не возрастает,
– немонотонная последовательность.
Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая
Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Доказательство
. Пусть последовательность
не убывает и ограничена сверху, т.е.
и множество
ограничено сверху. По теореме 1 § 2
существует
.
Докажем, что
.
Возьмем
произвольно. Посколькуа
– точная
верхняя граница, существует номерN
такой, что
.
Так как последовательность неубывающая,
то для всех
имеем,
т.е.
,
поэтому
для всех
,
а это и означает, что
.
Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно ). Теорема доказана.
Замечание . Теорему 1 можно сформулировать иначе.
Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.
Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.
Условие монотонности не является
необходимым для сходимости
последовательности, так как сходящаяся
последовательность не обязательно
монотонна. Например, последовательность
не монотонная, однако сходится к нулю.
Следствие
. Если последовательность
возрастает (убывает) и ограничена сверху
(снизу), то
(
).
Действительно, по теореме 1
(
).
Определение
4. Еслии
при
,
то последовательностьназываетсястягивающейся системой
вложенных отрезков
.
Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точкас , принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Доказательство
. Докажем, что точкас
существует. Поскольку
,
то
и, следовательно, последовательность
не убывает, а последовательность
не возрастает. При этом
и
ограничены, так как.
Тогда по теореме 1 существуют
и
,
но так как
,
то
=
.
Найденная точкас
принадлежит всем
отрезкам системы, так как по следствию
теоремы 1
,
,
т.е.
для всех значенийn
.
Покажем теперь, что точка с
–
единственная. Предположим, что таких
точек две:с
иd
и пусть для определенности
.
Тогда отрезок
принадлежит всем отрезкам
,
т.е.
для всехn
, что
невозможно, так как
и, значит, начиная с некоторого номера,
.
Теорема доказана.
Отметим, что здесь существенно то, что
рассматриваются замкнутые промежутки,
т.е. отрезки. Если рассмотреть систему
стягивающихся интервалов, то принцип,
вообще говоря, неверен. Например,
интервалы
,
очевидно, стягиваются в точку
,
однако точка
не принадлежит ни одному интервалу этой
системы.
Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.
1) Число е .
Рассмотрим теперь последовательность
.
Как она себя ведет? Основание
степени
,
поэтому
?
С другой стороны,
,
а
,
поэтому
?
Или предел не существует?
Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим
вспомогательную последовательность
.
Докажем, что она убывает и ограничена
снизу. При этом нам будет нужна
Лемма
. Если
,
то для всех натуральных значенийn
имеем
(неравенство Бернулли).
Доказательство . Воспользуемся методом математической индукции.
Если
,
то
,
т.е. неравенство верно.
Предположим, что оно верно для
и докажем его справедливость для
+1.
Верно
.
Умножим это неравенство на
:
Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значенийn . Лемма доказана.
Покажем, что последовательность
убывает. Имеем
׀неравенство
Бернулли׀
,а это и означает, что
последовательность
убывает.
Ограниченность снизу следует из
неравенства
׀неравенство
Бернулли׀
для всех натуральных значенийn
.
По теореме 1 существует
,
который обозначают буквойе
. Поэтому
.
Число е иррационально и трансцендентно,е = 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.
Замечания
. 1) Неравенство Бернулли
можно использовать для доказательства
того, что
при
.
Действительно, если
,
то
.
Тогда, по неравенству Бернулли,при
.
Отсюда при
имеем
,
то есть
при
.
2) В рассмотренном выше примере основание
степени
стремится к 1, а показатель степениn
– к,
то есть имеет место неопределенность
вида.
Неопределенность такого вида, как мы
показали, раскрывается с помощью
замечательного предела
.
2)
(*)
Докажем, что эта последовательность
сходится. Для этого покажем, что она
ограничена снизу и не возрастает. При
этом воспользуемся неравенством
для всех
,
которое является следствием неравенства
.
Имеем
см.
неравенство выше
,
т.е. последовательность ограничена
снизу числом
.
Далее,
так
как
,
т.е. последовательность не возрастает.
По теореме 1 существует
,
который обозначимх
. Переходя в
равенстве (*) к пределу при
,
получим
,
т.е.
,
откуда
(берем знак «плюс», так как все члены
последовательности положительны).
Последовательность (*) применяется при
вычислении
приближенно. Заберут любое положительное число.
Например, найдем
.
Пусть
.
Тогда
,.
Таким образом,
.
3)
.
Имеем
.
Поскольку
при
,
существует номерN
,
такой, что для всех
выполняется неравенство
.
Таким образом, последовательность
,
начиная с некоторого номераN
,
убывает и ограничена снизу, так как
для всех значенийn
.
Значит, по теореме 1 существует
.
Поскольку
,
имеем
.
Итак,
.
4)
,
справа –n
корней.
Методом математической индукции покажем,
что
для всех значенийn
.
Имеем
.
Пусть
.
Тогда,
отсюда получаем утверждение по принципу
математической индукции. Используя
этот факт, находим,
т.е. последовательность
возрастает и ограничена сверху. Поэтому
существует,
так как
.
Таким образом,
.
Приводится доказательство теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Рассмотрены случаи ограниченной и неограниченной последовательностей. Рассмотрен пример, в котором нужно, применяя теорему Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности и найти ее предел.
Любая монотонная ограниченная последовательность {
x n }
имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {
x n }
для неубывающей и точной нижней границе, inf {
x n }
для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.
Доказательство
1) неубывающей ограниченной последовательностью .
(1.1)
.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную верхнюю границу
.
Это означает, что:
- для всех n
,
(1.2) ;
(1.3) .
.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку ,
то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.
2)
Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью
:
(2.1)
для всех n
.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:
- для всех n
выполняются неравенства:
(2.2) ; - для любого положительного числа ,
существует такой номер ,
зависящий от ε
,
для которого
(2.3) .
.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку ,
то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.
Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3)
Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью
.
Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n
выполняются неравенства:
(3.1)
.
Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M
существует такой номер ,
зависящий от M
,
для которого
(3.2)
.
Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).
.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.
4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .
Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1)
для всех n
.
Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M
существует такой номер ,
зависящий от M
,
для которого
(4.2)
.
Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.
Итак, для любого числа M
существует такое натуральное число ,
зависящее от M
,
так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.
Пример решения задачи
Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
,
,
. . . ,
,
. . .
После чего найти ее предел.
Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.
Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1)
.
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть .
Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.
Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2)
.
Поскольку ,
то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.
Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.
Найдем этот предел. Обозначим его через a
:
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень .